Considere a seguinte função e responda os itens a e b.
f(x)=k x^2 se -1 <= x <= 0
a) Qual o valor k para que a função seja uma densidade de probabilidade
b) Determinar a média e a variância da variável

Passo 1

Nesse exercício temos uma variável contínua com densidade f(x)=k x^2 em [-1,0]. O conteúdo envolve densidade de probabilidade (normalização), cálculo de esperança E[X] e variância Var(X). Vamos usar as fórmulas:
• Normalização: integral-1^0 f(x),dx=1
• Esperança: E[X]=integral-1^0 x f(x),dx
• Variância: Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2, onde E[X^2]=integral-1^0 x^2 f(x),dx.

Passo 2

Para achar k, aplicamos a condição de densidade:
integral-1^0 k x^2 ,dx = 1
Calculando:
integral-1^0 x^2 ,dx = [x^33]-1^0 = 0 - l(-13r)=13
Logo:
k cdot 13 = 1 implies k = 3

Passo 3

Agora vamos calcular a média E[X]:
E[X] = integral-1^0 x,f(x),dx = 3 integral-1^0 x^3 ,dx
Como
integral-1^0 x^3 ,dx = [x^44]-1^0 = 0 - 14 = -14
segue:
E[X] = 3 cdot l(-14r) = -34

Passo 4

Para a variância, primeiro calculemos E[X^2]:
E[X^2] = integral-1^0 x^2,f(x),dx = 3 integral-1^0 x^4 ,dx
Como
integral-1^0 x^4 ,dx = [x^55]-1^0 = 0 - l(-15r) = 15
então
E[X^2] = 3 cdot 15 = 35
Finalmente,
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 35 - l(-34r)^2 = 35 - 916 = 48 - 4580 = 380 .

Resposta

k = 3, \quad E[X] = -\tfrac{3}{4}, \quad \mathrm{Var}(X) = \tfrac{3}{80}

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