Considere a seguinte função e responda os itens a e b.
a) Qual o valor k para que a função seja uma densidade de probabilidade
b) Determinar a média e a variância da variável
b) Determinar a média e a variância da variável
Passo 1
Nesse exercício temos uma variável contínua com densidade
em
. O conteúdo envolve densidade de probabilidade (normalização), cálculo de esperança
e variância
. Vamos usar as fórmulas:
• Normalização:
• Esperança:
• Variância: , onde
.
• Normalização:
• Esperança:
• Variância:
Passo 2
Para achar
, aplicamos a condição de densidade:
Calculando:
Logo:
Passo 3
Agora vamos calcular a média
:
Como
segue:
Passo 4
Para a variância, primeiro calculemos
:
Como
então
Finalmente,
Resposta
k = 3, \quad E[X] = -\tfrac{3}{4}, \quad \mathrm{Var}(X) = \tfrac{3}{80}