Suponha que X seja uniformemente distribuída entre [-alpha, alpha], onde alpha>0. Determinar o valor de alpha de modo que as seguintes relações estejam satisfeitas:
a) P(X>1)=1 / 3
b) P(X<1 / 2)=0,7

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma v.a. contínua X que segue distribuição uniforme em [−α,α] com α>0. Queremos achar α de modo que (a) P(X>1)=1/3 e (b) P(X<1/2)=0,7. O conteúdo é distribuição uniforme contínua, usando densidade e CDF para montar equações em α.

Passo 2

Para X∼Uniforme(−α,α), a densidade é f(x)=12alpha para x∈[−α,α] e a CDF é F(x)=P(X<= x)=x+alpha2alpha. Logo, P(X>c)=1−F(c) e P(X.

Passo 3

Na parte (a), temos P(X>1)=1−F(1)=1−1+alpha2alpha. Igualando a 1/3,
alpha-12alpha=13
Resolvendo: 3(alpha-1)=2alpha 3alpha-3=2alpha alpha=3.

Passo 4

Na parte (b), temos P(X<1/2)=F(1/2)=1/2+alpha2alpha. Igualando a 7/10,
alpha+tfrac122alpha=710
Multiplicando ambos os lados por 2α: alpha+tfrac12=tfrac710cdot2alpha=tfrac7alpha5.
Resolvendo: multiplcando por 10 dá 10alpha+5=14alpha 5=4alpha alpha=tfrac54.

Resposta

a) alpha=3; b) alpha=tfrac54.

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