Considere a seguinte integral definida
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados
, e
tal que
e
. Sendo assim:
considere que
e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.
considere que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida na integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $. A gente vai usar 31 pontos para a integração numérica e já sabemos que $ M_2 = 1.6 $, que é um limite para a segunda derivada da função. Vamos precisar entender como a regra do trapézio funciona e como estimar o erro dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio repetida. Ela é uma técnica de aproximação de integrais definida dividindo o intervalo de integração em várias partes menores (n subintervalos) e aproximando a área sob a curva usando trapézos. A fórmula geral para o erro dessa aproximação é:
Onde:
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração,
- $ n $ é o número de subintervalos,
- $ M_2 $ é o limite superior da segunda derivada da função no intervalo.
Passo 3
No nosso caso, os limites de integração são $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $. O número de pontos é 31, o que significa que temos $ n = 30 $ subintervalos (porque o número de subintervalos é sempre um a menos que o número de pontos). Já sabemos que $ M_2 = 1.6 $.
Passo 4
Vamos aplicar esses valores na fórmula do erro:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular passo a passo:
- Calculamos $ \left( \frac{\pi}{2} \right)^3 $:
- Calculamos $ 12 \times 900 $:
- Dividimos o resultado da primeira parte pelo segundo:
- Finalmente, multiplicamos pelo $ M_2 $:
Resposta
A estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida com 31 pontos é aproximadamente $ 0.000573 $.