Considere a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2[sin (x)+x cos (x)] d x e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados x0, x1, e x2 tal que x0=0 e x2=pi / 2. Sendo assim:
considere que M2=1.6 e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida na integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $. A gente vai usar 31 pontos para a integração numérica e já sabemos que $ M_2 = 1.6 $, que é um limite para a segunda derivada da função. Vamos precisar entender como a regra do trapézio funciona e como estimar o erro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio repetida. Ela é uma técnica de aproximação de integrais definida dividindo o intervalo de integração em várias partes menores (n subintervalos) e aproximando a área sob a curva usando trapézos. A fórmula geral para o erro dessa aproximação é:
E <= (b - a)^312 n^2 M2
Onde:
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração,
  • $ n $ é o número de subintervalos,
  • $ M_2 $ é o limite superior da segunda derivada da função no intervalo.

Passo 3

No nosso caso, os limites de integração são $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $. O número de pontos é 31, o que significa que temos $ n = 30 $ subintervalos (porque o número de subintervalos é sempre um a menos que o número de pontos). Já sabemos que $ M_2 = 1.6 $.

Passo 4

Vamos aplicar esses valores na fórmula do erro:
E <= ( pi2 - 0 )^312 times 30^2 times 1.6
Simplificando:
E <= ( pi2 )^312 times 900 times 1.6

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
  1. Calculamos $ \left( \frac{\pi}{2} \right)^3 $:
( pi2 )^3
  1. Calculamos $ 12 \times 900 $:
( pi2 )^3 = pi^38 approx 31.00638 approx 3.8758
  1. Dividimos o resultado da primeira parte pelo segundo:
12 times 900
  1. Finalmente, multiplicamos pelo $ M_2 $:
12 times 900 = 10,800

Resposta

A estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida com 31 pontos é aproximadamente $ 0.000573 $.

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