A determinação das raizes de uma equação é um problema fundamental em diversos campos da engenharia, sendo essencial para a resolução de problemas físicos e matemáticos, o método da bisseção é uma técnica numérica utilizada para encontrar raizes de funções contínuas em um intervalo [a, b] onde ocorre uma mudança de sinal, ou seja, f(a) f f(b)<0. Esse método baseia-se na divisão repetida do intervalo ao meio, verificando em qual subintervalo a raiz está presente. Considere a função f(x)=x^3-4 x + 1. Deseja-se determinar uma aproximação para a raiz dessa equação no intervalo [1.2] utilizando uma única iteração do método da bisseção.
Com base nesse procedimento, assinale a alternativa que corresponde à nova aproximação da raiz após a primeira iteração: Rascunho para cálculos:
A) 1,875
B) 1,75
C) 1.5
D) 1,25
E) 2.0

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) = x^{3} - 4x + 1 $ e queremos encontrar uma aproximação para uma de suas raízes no intervalo f(x) = x^3 - 4x + 1 usando o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo repetidamente ao meio e verificando em qual subintervalo a raiz está localizada.

Passo 2

Para aplicar o método da bisseção, precisamos garantir que a função muda de sinal no intervalo inicial [a, b] = [1, 2]. Isso significa que $ f(a) $ e $ f(b) $ devem ter sinais opostos.
Vamos calcular:
f(a)
f(b)
Como $ f(1) = -2 $ e $ f(2) = 1 $, temos $ f(1) \times f(2) = -2 \times 1 = -2 < 0 $. Portanto, há uma mudança de sinal no intervalo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto médio $ m $ do intervalo m :
[1, 2]

Passo 4

Vamos calcular o valor da função no ponto médio:
f(1,5) = (1,5)^3 - 4 times 1,5 + 1 = 3,375 - 6 + 1 = -1,625
Como $ f(m) = -1,625 $, que é negativo, verificamos o sinal de $ f(a) \times f(m) $:
f(m) = -1,625
Isso significa que a raiz não está no intervalo f(a) times f(m) , mas sim no intervalo f(1) times f(1,5) = (-2) times (-1,625) = 3,25 > 0 .

Passo 5

Com isso, atualizamos o intervalo para [1,5, 2]. Agora, calculamos o novo ponto médio:
mnovo = 1,5 + 22 = 1,75
Esse será a nossa nova aproximação para a raiz após a primeira iteração do método da bisseção.

Resposta

A nova aproximação da raiz após a primeira iteração é 1,75.

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