A determinação das raizes de uma equação é um problema fundamental em diversos campos da engenharia, sendo essencial para a resolução de problemas físicos e matemáticos, o método da bisseção é uma técnica numérica utilizada para encontrar raizes de funções contínuas em um intervalo
onde ocorre uma mudança de sinal, ou seja,
f
. Esse método baseia-se na divisão repetida do intervalo ao meio, verificando em qual subintervalo a raiz está presente. Considere a função
+ 1. Deseja-se determinar uma aproximação para a raiz dessa equação no intervalo [1.2] utilizando uma única iteração do método da bisseção.
Com base nesse procedimento, assinale a alternativa que corresponde à nova aproximação da raiz após a primeira iteração: Rascunho para cálculos:
A) 1,875
B) 1,75
C) 1.5
D) 1,25
E) 2.0
Com base nesse procedimento, assinale a alternativa que corresponde à nova aproximação da raiz após a primeira iteração: Rascunho para cálculos:
A) 1,875
B) 1,75
C) 1.5
D) 1,25
E) 2.0
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) = x^{3} - 4x + 1 $ e queremos encontrar uma aproximação para uma de suas raízes no intervalo
usando o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo repetidamente ao meio e verificando em qual subintervalo a raiz está localizada.
Passo 2
Para aplicar o método da bisseção, precisamos garantir que a função muda de sinal no intervalo inicial
. Isso significa que $ f(a) $ e $ f(b) $ devem ter sinais opostos.
Vamos calcular:
Como $ f(1) = -2 $ e $ f(2) = 1 $, temos $ f(1) \times f(2) = -2 \times 1 = -2 < 0 $. Portanto, há uma mudança de sinal no intervalo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto médio $ m $ do intervalo
:
Passo 4
Vamos calcular o valor da função no ponto médio:
Como $ f(m) = -1,625 $, que é negativo, verificamos o sinal de $ f(a) \times f(m) $:
Isso significa que a raiz não está no intervalo
, mas sim no intervalo
.
Passo 5
Com isso, atualizamos o intervalo para
. Agora, calculamos o novo ponto médio:
Esse será a nossa nova aproximação para a raiz após a primeira iteração do método da bisseção.
Resposta
A nova aproximação da raiz após a primeira iteração é 1,75.