Suponha que f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots+a_{n}(x-c)^{n}. Encontre a_{k} usando o polinômio de Taylor.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio centrado em c,
f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots+a_{n}(x-c)^{n},
e pede para achar o coeficiente geral a_{k} usando a fórmula de Taylor. Vamos lembrar que, para uma função suficientemente suave, o desenvolvimento de Taylor em torno de c é
f(x)=\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}\text{(c)}}{j!}\,(x-c)^{j}.
Comparando, esperamos encontrar
a_{k}=\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}.
Para justificar isso, vamos derivar f k vezes e avaliar em x=c.

Passo 2

Calculemos a k-ésima derivada de f. Como
f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}(x-c)^{i},
a derivada de ordem k é
f^{(k)}(x) =\sum_{i=k}^{n}a_{i}\,\frac{i!}{(i-k)!}\,(x-c)^{\,i-k}.
Aqui usamos que a derivada de (x-c)^{i} aplicada k vezes vale \frac{i!}{(i-k)!}(x-c)^{\,i-k}.

Passo 3

Agora avaliamos essa expressão em x=c. Para i>k, o fator (x-c)^{\,i-k} zera em x=c. Só sobrevive o termo i=k:
f^{(k)}\text{(c)} = a_{k}\,\frac{k!}{(k-k)!}\,(c-c)^{0} = a_{k}\,k!.

Passo 4

Isolando a_{k} da igualdade acima, obtemos
a_{k}=\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}.

Resposta

a_{k}=\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}.

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