Suponha que
. Encontre
usando o polinômio de Taylor.
Passo 1
O enunciado nos dá um polinômio centrado em
,
e pede para achar o coeficiente geral
usando a fórmula de Taylor. Vamos lembrar que, para uma função suficientemente suave, o desenvolvimento de Taylor em torno de
é
Comparando, esperamos encontrar
Para justificar isso, vamos derivar
vezes e avaliar em
.
Passo 2
Calculemos a
-ésima derivada de
. Como
a derivada de ordem
é
Aqui usamos que a derivada de
aplicada
vezes vale
.
Passo 3
Agora avaliamos essa expressão em
. Para
, o fator
zera em
. Só sobrevive o termo
:
Passo 4
Isolando
da igualdade acima, obtemos