y^{\prime \prime}-2 x^{2} y^{\prime}+4 x y=x^{2}+2 x+2 ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em séries de potências da equação
y'' - 2x^{2}y' + 4x\,y = x^{2} + 2x + 2
em torno de x_{0}=0.
O conteúdo é o método das séries de potências para EDO linear com coeficientes analíticos. Vamos assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
de modo a determinar os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Derivando termo a termo, obtemos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n-1} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}\,x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}\,x^{n}.

Passo 3

Substituindo em cada termo da EDO:
y'':\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}\,x^{n},
-2x^{2}y':-2\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}\,x^{n+2} =-2\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)a_{n-1}\,x^{n},
4x\,y:4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}4\,a_{n-1}\,x^{n}.
No lado direito escrevemos
x^{2}+2x+2=2+2x+1\cdot x^{2}+\sum_{n=3}^{\infty}0\cdot x^{n}.

Passo 4

Somando os três somatórios do lado esquerdo e igualando coeficientes de x^{n}, obtemos as equações
para n=0:
2\,a_{2}=2,
para n=1:
6\,a_{3}+4\,a_{0}=2,
e para n\ge2:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} -2(n-1)\,a_{n-1} +4\,a_{n-1} =\begin{cases}1,&n=2,\\\ 0,&n\ge3.\end{cases}

Passo 5

Da equação para n=0\) vem \[a_{2}=1.
De n=1 vem
6\,a_{3}+4\,a_{0}=2 \quad\Longrightarrow\quad a_{3}=\frac{2-4a_{0}}{6}=\frac{1-2a_{0}}{3}.
Para n\ge2 definimos (c_{n}= \begin{cases}1,&n=2,\\\ 0,&n\ge3,\end{cases}] e reescrevemos
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+(6-2n)\,a_{n-1}=c_{n},
isto é
a_{n+2} =\frac{(2n-6)\,a_{n-1}+c_{n}}{(n+2)(n+1)}.

Passo 6

Os dois primeiros coeficientes a_{0} e a_{1} são arbitrários (constantes de integração).
Com isso, os primeiros termos são
a_{0}=\text{livre},\quad a_{1}=\text{livre},\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=\frac{1-2a_{0}}{3},\quad a_{4}=\frac{1-2a_{1}}{12},\quad a_{5}=0,\;\dots
Logo a solução em série fica
y(x) =a_{0}+a_{1}x+ x^{2} +\frac{1-2a_{0}}{3}\,x^{3} +\frac{1-2a_{1}}{12}\,x^{4} +\cdots,
com recorrência
a_{n+2} =\frac{(2n-6)\,a_{n-1}+c_{n}}{(n+2)(n+1)},\quad c_{2}=1,\;c_{n\ge3}=0.

Resposta

y(x) =a_{0}+a_{1}x+ x^{2} +\frac{1-2a_{0}}{3}\,x^{3} +\frac{1-2a_{1}}{12}\,x^{4} +\cdots,
com a_{0},a_{1} livres e
a_{n+2} =\frac{(2n-6)\,a_{n-1}+c_{n}}{(n+2)(n+1)}, \quad c_{2}=1,\;c_{n\ge3}=0.

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