Lembre-se que a aplicação
definida por
, para todo
recebe o nome de aplicação identidade em
. Verifique se
para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que
, para todo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
para as aplicações dadas. Ou seja, é preciso mostrar que
As informações fornecidas são:
-
. -
. -
(os números reais não negativos / positivos — em qualquer caso, implica ).
Não se resolve nada nesse passo; apenas foi listado o que se tem e o que se quer provar.
Passo 2
Definição de composição que vamos usar: para duas aplicações
e
com domínios/codomínios compatíveis, a composição
é a aplicação que associa a cada
o valor
Aqui, isto significa que devemos calcular
substituindo
dentro de
.
Passo 3
Fazendo a substituição direta:
Agora precisamos simplificar
. Uma identidade geral é
onde
é o valor absoluto de
. Vou explicar essa identidade rapidamente:
(a raiz quadrada principal) sempre retorna um número não negativo para
; como
, a raiz principal de
é o número não negativo cuja quadrado é
, isto é
.
Passo 4
Agora use a informação sobre o conjunto
. Como
, todo
satisfaz
. Para números não negativos vale
Portanto, para todo
temos
Passo 5
Juntando os passos anteriores, para todo
segue:
Isto mostra exatamente que a composição
age como a aplicação identidade em
: ela devolve
para cada
.
Passo 6
Breve verificação de consistência (mais técnica, é só para ficar seguro):
envia
em
porque, para
,
pertence novamente a
. E
está definida em
. Assim
está bem definida em todo
, e a igualdade acima vale em todo o domínio considerado.