Lembre-se que a aplicação 1_{X}: X \rightarrow X definida por 1_{X}(x)=x, para todo x \in X recebe o nome de aplicação identidade em X. Verifique se g \circ f=1_{X} para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que (g \circ f)(x)=x, para todo x \in X.
f(x)=x^{2}, g(x)=\sqrt{x}, X=\mathbb{R}^{+}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se g\circ f=1_{X} para as aplicações dadas. Ou seja, é preciso mostrar que
(g\circ f)(x)=x\quad\text{para todo }x\in X.
As informações fornecidas são:
  • f(x)=x^{2}.
  • g(x)=\sqrt{x}.
  • X=\mathbb{R}^{+} (os números reais não negativos / positivos — em qualquer caso, x\in X implica x\ge 0).
    Não se resolve nada nesse passo; apenas foi listado o que se tem e o que se quer provar.

Passo 2

Definição de composição que vamos usar: para duas aplicações f e g com domínios/codomínios compatíveis, a composição g\circ f é a aplicação que associa a cada x o valor
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Aqui, isto significa que devemos calcular g\bigl(f(x)\bigr) substituindo f(x)=x^{2} dentro de g.

Passo 3

Fazendo a substituição direta:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(x^{2}\bigr)=\sqrt{x^{2}}.
Agora precisamos simplificar \sqrt{x^{2}}. Uma identidade geral é
\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert,
onde \lvert x\rvert é o valor absoluto de x. Vou explicar essa identidade rapidamente: \sqrt{y} (a raiz quadrada principal) sempre retorna um número não negativo para y\ge 0; como x^{2}\ge 0, a raiz principal de x^{2} é o número não negativo cuja quadrado é x^{2}, isto é \lvert x\rvert.

Passo 4

Agora use a informação sobre o conjunto X. Como X=\mathbb{R}^{+}, todo x\in X satisfaz x\ge 0. Para números não negativos vale
\lvert x\rvert = x.
Portanto, para todo x\in X temos
\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert = x.

Passo 5

Juntando os passos anteriores, para todo x\in X segue:
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}}=x.
Isto mostra exatamente que a composição g\circ f age como a aplicação identidade em X: ela devolve x para cada x\in X.

Passo 6

Breve verificação de consistência (mais técnica, é só para ficar seguro): f envia X em X porque, para x\in\mathbb{R}^{+}, x^{2}\ge 0 pertence novamente a \mathbb{R}^{+}. E g está definida em \mathbb{R}^{+}. Assim g\circ f está bem definida em todo X, e a igualdade acima vale em todo o domínio considerado.

Resposta

(g\circ f)(x)=x para todo x\in\mathbb{R}^{+}, logo g\circ f=1_{X}.

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