Seja H=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right)\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontrar uma base para H.
(b) O conjunto gerado pela base do H é um conjunto gerador do espaço \mathbb{R}^{3} ? (Justificar sua resposta).
(c) Escrever os vetores que não fazem parte da base de H como combinação linear da base de H.
e define H=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}. O objetivo é (a) extrair uma base de H encontrando uma subfamília linearmente independente máxima, (b) verificar se essa base gera todo \mathbb{R}^3 e (c) escrever os vetores não escolhidos na base como combinação linear dos vetores da base. Para isso, usaremos eliminação de Gauss para identificar dependências lineares.
Passo 2
Organizamos os vetores como colunas da matriz 3\times5 e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas-pivô:
Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4. Logo uma base de H é \{v_1,v_2,v_4\}.
Passo 3
Como \{v_1,v_2,v_4\} são 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, temos \dim H=3=\dim\mathbb{R}^3. Portanto H=\mathbb{R}^3 e o conjunto gerado pela base de H é de fato um conjunto gerador de todo \mathbb{R}^3.
Passo 4
Para expressar v_3\) e \(v_5\) em função de \(\{v_1,v_2,v_4\}\), escrevemos
\[a\,v_1+b\,v_2+c\,v_4 =\begin{pmatrix}a+b\a+2b+2c\a+3b+c\end{pmatrix}