Seja H=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right)\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontrar uma base para H.
(b) O conjunto gerado pela base do H é um conjunto gerador do espaço \mathbb{R}^{3} ? (Justificar sua resposta).
(c) Escrever os vetores que não fazem parte da base de H como combinação linear da base de H.

Passo 1

O enunciado nos dá cinco vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix},\; v_4=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\; v_5=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},
e define H=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}. O objetivo é (a) extrair uma base de H encontrando uma subfamília linearmente independente máxima, (b) verificar se essa base gera todo \mathbb{R}^3 e (c) escrever os vetores não escolhidos na base como combinação linear dos vetores da base. Para isso, usaremos eliminação de Gauss para identificar dependências lineares.

Passo 2

Organizamos os vetores como colunas da matriz 3\times5 e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas-pivô:
\begin{pmatrix} 1&1&1&0&1\\\\ 1&2&3&2&3\\\\ 1&3&5&1&2 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{Gauss}}\; \begin{pmatrix} 1&1&1&0&1\\\\ 0&1&2&2&2\\\\ 0&0&0&1&1 \end{pmatrix}.
Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4. Logo uma base de H é \{v_1,v_2,v_4\}.

Passo 3

Como \{v_1,v_2,v_4\} são 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, temos \dim H=3=\dim\mathbb{R}^3. Portanto H=\mathbb{R}^3 e o conjunto gerado pela base de H é de fato um conjunto gerador de todo \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para expressar v_3\) e \(v_5\) em função de \(\{v_1,v_2,v_4\}\), escrevemos \[a\,v_1+b\,v_2+c\,v_4 =\begin{pmatrix}a+b\a+2b+2c\a+3b+c\end{pmatrix}
e igualamos a cada vetor.
– Para v_3=(1,3,5) resolvemos
\begin{cases} a+b=1,\\\ a+2b+2c=3,\\\ a+3b+c=5, \end{cases}
que dá b=2\], \[a=-1, c=0. Logo
v_3=-1\,v_1+2\,v_2+0\,v_4.
– Para v_5=(1,3,2) resolvemos
\begin{cases} a+b=1,\\\ a+2b+2c=3,\\\ a+3b+c=2, \end{cases}
que dá b=0\], \(a=1, c=1. Logo
v_5=1\,v_1+0\,v_2+1\,v_4.

Resposta

(a) Uma base de H é
\{\,v_1,v_2,v_4\} =\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
(b) Sim. Como a base tem 3 vetores em \mathbb{R}^3, H=\mathbb{R}^3 e, portanto, gera todo \mathbb{R}^3.
(c)
v_3=-\,v_1+2\,v_2,\quad v_5=v_1+v_4.

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