Fazer o indicado em cada literal;
Mostre que a transformação T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por T(x)=3 x é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação
T\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad T(x)=3x
é uma transformação linear. Para isso, usaremos a definição de linearidade, que exige verificar duas propriedades:
  1. aditividade: T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2),
  2. homogeneidade: T(\alpha x)=\alpha\,T(x).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam x_1,x_2\in\mathbb{R}. Então
T(x_1+x_2)=3\,(x_1+x_2)=3x_1+3x_2=T(x_1)+T(x_2).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R}. Então
T(\alpha x)=3\,(\alpha x)=\alpha\,(3x)=\alpha\,T(x).

Resposta

A transformação T é linear.

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