Considere a seguinte matriz A=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule o determinante da matriz A.
(b) Verifique se a matriz A é invertivel e, em caso atirmativo, calcule a sua inversa A^{-1}.
(c) Seja o sistema A x=b, onde b=\left[\begin{array}{c}11 \\\\ 26 \\\\ 8\end{array}\right]. USANDO O ITEM ANTERIOR “(b)” encontrar o vetor soluçâo

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 0 & 5 & 4\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede: (a) o determinante de A, (b) verificar se A é invertível e, se sim, achar A^{-1}, (c) resolver A x = b com
b = \begin{pmatrix}11\\\ 26\\\ 8\end{pmatrix}
usando o item (b). Para isso vamos usar propriedade de determinante de matriz triangular, condição de invertibilidade ( \det \neq 0), método de inversão por colunas e retro-substituição para resolver o sistema.

Passo 2

Em matrizes triangulares o determinante é o produto das entradas da diagonal. Logo,
\det(A) = 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30.

Passo 3

Como \det(A)=30\neq0, concluímos que A é invertível. Para calcular A^{-1} resolvemos A\,X = I coluna a coluna, aproveitando que a inversa de matriz triangular superior é também triangular superior. Após resolver o sistema para as colunas de X, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{15} & \tfrac{1}{10}\\\\ 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver A x = b usamos retro-substituição (ou x = A^{-1}b). Pelo terceiro elemento:
2 \cdot x_{3} = 8 \implies x_{3} = 4.
Pelo segundo:
5 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = 26 \implies 5 \cdot x_{2} + 16 = 26 \implies x_{2} = 2.
Pelo primeiro:
3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 11 \implies 3 \cdot x_{1} + 4 + 4 = 11 \implies x_{1} = 1.
Assim
x = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \det(A)=30.
(b) A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{15} & \tfrac{1}{10}\\\\ 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
(c) A solução do sistema é
x = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.

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