Considere a seguinte matriz A=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule o determinante da matriz A.
(b) Verifique se a matriz A é invertivel e, em caso atirmativo, calcule a sua inversa A^{-1}.
(c) Seja o sistema A x=b, onde b=\left[\begin{array}{c}11 \\\\ 26 \\\\ 8\end{array}\right]. USANDO O ITEM ANTERIOR “(b)” encontrar o vetor soluçâo
e pede: (a) o determinante de A, (b) verificar se A é invertível e, se sim, achar A^{-1}, (c) resolver A x = b com
b = \begin{pmatrix}11\\\ 26\\\ 8\end{pmatrix}
usando o item (b). Para isso vamos usar propriedade de determinante de matriz triangular, condição de invertibilidade (\det \neq 0), método de inversão por colunas e retro-substituição para resolver o sistema.
Passo 2
Em matrizes triangulares o determinante é o produto das entradas da diagonal. Logo,
\det(A) = 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30.
Passo 3
Como \det(A)=30\neq0, concluímos que A é invertível. Para calcular A^{-1} resolvemos A\,X = I coluna a coluna, aproveitando que a inversa de matriz triangular superior é também triangular superior. Após resolver o sistema para as colunas de X, obtemos