Nos Exercícios 9 e 10, encontre todos os vetores \mathbf{x} em \mathbb{R}^{4} que são transformados no vetor nulo pela aplicação \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x}.
Passo 1
O enunciado pede o núcleo da transformação
em
, ou seja, todos os vetores
tais que
Para encontrar esse núcleo, vamos montar o sistema homogêneo
e aplicar eliminação de Gauss.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada
e iniciamos a eliminação.
Trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na primeira coluna:
Passo 3
Usamos o pivô da primeira linha para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
resultando em
Passo 4
Para a coluna 2, trocamos a linha 2 com a linha 3 (onde já aparece 1) e então eliminamos:
Isso leva à forma escalonada
Passo 5
Das duas primeiras linhas não-nulas retiramos as equações
Escolhemos
e
como parâmetros livres. Então
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Resposta
O núcleo de
é