Nos Exercícios 9 e 10, encontre todos os vetores \mathbf{x} em \mathbb{R}^{4} que são transformados no vetor nulo pela aplicação \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x}.
A=\left[\begin{array}{rrrr}3 & 2 & 10 & -6 \\\\ 1 & 0 & 2 & -4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 4 & 10 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o núcleo da transformação x\mapsto A x em \mathbb{R}^4, ou seja, todos os vetores \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) tais que
A\mathbf{x} = \mathbf{0}.
Para encontrar esse núcleo, vamos montar o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} e aplicar eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid \mathbf{0}\bigr] e iniciamos a eliminação.
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & 2 & 10 & -6 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 4 & 10 & 8 & 0 \end{array}\right]
Trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na primeira coluna:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 3 & 2 & 10 & -6 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 4 & 10 & 8 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô da primeira linha para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - R_1,
resultando em
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 2 & 4 & 6 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 4 & 8 & 12 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Para a coluna 2, trocamos a linha 2 com a linha 3 (onde já aparece 1) e então eliminamos:
R_2 \leftrightarrow R_3,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 4R_2.
Isso leva à forma escalonada
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Das duas primeiras linhas não-nulas retiramos as equações
\begin{cases} x_1 + 2x_3 - 4x_4 = 0,\\\ x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0. \end{cases}
Escolhemos x_3 = s e x_4 = t como parâmetros livres. Então
x_1 = -2s + 4t, \quad x_2 = -2s - 3t.
Logo
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

O núcleo de A é
\ker(A) = \Bigl\{\,s\,(-2,-2,1,0)+t\,(4,-3,0,1)\;\bigm|\;s,t\in\mathbb{R}\Bigr\}.

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