Nos Exercícios 9 e 10, encontre todos os vetores \mathbf{x} em \mathbb{R}^{4} que são transformados no vetor nulo pela aplicação \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x}.
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & 5 & -5 \\\\ 0 & 1 & -3 & 5 \\\\ 2 & -4 & 4 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^4 tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & -5\\\\ 0 & 1 & -3 & 5\\\\ 2 & -4 & 4 & -4 \end{pmatrix}.
O conteúdo é aplicação linear e espaço nulo (nullspace). Para resolver, vamos montar o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} e aplicar eliminação para encontrar os parâmetros livres.

Passo 2

Seja \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T. O sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0} fornece as equações:
\begin{cases} x_1 \;-\;3x_2 \;+\;5x_3 \;-\;5x_4 = 0,\\\ x_2 \;-\;3x_3 \;+\;5x_4 = 0,\\\\ 2x_1 \;-\;4x_2 \;+\;4x_3 \;-\;4x_4 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos x_2:
x_2 = 3x_3 - 5x_4.
Substituímos esse valor na primeira equação:
x_1 - 3(3x_3 - 5x_4) + 5x_3 - 5x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 - 9x_3 +15x_4 +5x_3 -5x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 4x_3 - 10x_4.

Passo 4

Agora substituímos x_1 e x_2 na terceira equação:
2(4x_3-10x_4) -4(3x_3-5x_4) +4x_3 -4x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; 8x_3 -20x_4 -12x_3 +20x_4 +4x_3 -4x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; -4x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_4 = 0.

Passo 5

Com x_4=0, as fórmulas anteriores dão
x_2 = 3x_3, \quad x_1 = 4x_3.
Fica um único parâmetro livre t = x_3. Logo
\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3,x_4) = \bigl(4t,\,3t,\,t,\,0\bigr) = t\,(4,3,1,0).

Resposta

Todos os vetores \mathbf{x} tais que A\mathbf{x}=\mathbf{0} são dados por
\mathbf{x} = t\,(4,3,1,0), \quad t\in\mathbb{R}.

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