Seja X=(a, b) \in \mathbb{R}^{2}. Encontrar a representação na forma " A x^{"} para a transtormação linear que é:
Reflexāo no eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a matriz A que representa, via a multiplicação \;A\,X\;, a reflexão de um ponto X=(a,b)\in\mathbb{R}^2 no eixo y. O conteúdo usado será a caracterização de transformações lineares por matrizes e a forma de agir numa base canônica.

Passo 2

Para refletir um ponto no eixo y, a coordenada x muda de sinal e a coordenada y permanece igual. Logo, a transformação T satisfaz
T(a,b)=(-a,\;b).

Passo 3

Para obter a matriz A dessa transformação, basta ver onde ela manda os vetores da base canônica:
e_{1}=(1,0)\mapsto T(1,0)=(-1,0), \qquad e_{2}=(0,1)\mapsto T(0,1)=(0,1).
As colunas de A são então T(e_{1}) e T(e_{2}), respectivamente. Assim,
A = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

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