Seja H=\operatorname{syan}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right)\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontrar uma base para H.
(b) O conjunto gerado pela base do H é um conjunto gerador do espaço \mathbb{R}^{3} ? (Justificar sua resposta).
(c) Escrever os vetores que nāo tazem parte da base de H como combinação linear da base de H.

Passo 1

O enunciado define
H = \operatorname{span}\bigl\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\bigr\}\subseteq\mathbb{R}^{3},
onde
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},\; v_{3}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\; v_{4}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\; v_{5}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é teste de independência linear e extração de uma base a partir de um conjunto gerador. Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e usar redução de linha para achar colunas-pivô.

Passo 2

Montamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & 1 & 0 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Aplicamos
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}, \quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}
e obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
Da forma escalonada, vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 4, então a posto de A é 3.

Passo 3

Como as colunas-pivô são 1, 2 e 4, um conjunto de três vetores independentes que gera H é
\bigl\{v_{1},\,v_{2},\,v_{4}\bigr\}
isto é,
\left\{\, \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} \right\}
é uma base de H.

Passo 4

Como a dimensão de H é 3 em \mathbb{R}^{3}, temos H=\mathbb{R}^{3}. Logo, a base de H gera todo o espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Para escrever v_{3}\) e \(v_{5}\) como combinação da base \(\{v_{1},v_{2},v_{4}\}\), resolvemos \[a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{4}=v_{3}
e
a'\,v_{1}+b'\,v_{2}+c'\,v_{4}=v_{5}.
No primeiro caso, isso dá o sistema
\begin{cases} a+2b +c =3,\\\ a+3b =1,\\\ a+2b -c =3, \end{cases}
cuja solução é a=7\], \[b=-2, c=0. Portanto
v_{3}=7\,v_{1}-2\,v_{2}+0\,v_{4}.
No segundo, o sistema
\begin{cases} a'+2b'+c'=1,\\\ a'+3b' =2,\\\ a'+2b'-c'=3 \end{cases}
tem solução a'=2\], \(b'=0, c'=-1. Assim
v_{5}=2\,v_{1}+0\,v_{2}-1\,v_{4}.

Resposta

(a) Uma base de H é
\left\{\, \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} \right\}.
(b) Sim. Como \dim H=3 em \mathbb{R}^{3}, H=\mathbb{R}^{3} e a base de H gera todo \mathbb{R}^{3}.
(c)
\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} =7 \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} -1 \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

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