Exercício 03: Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
\dot{X}=\left[\begin{array}{ll}4 & -2 \\\\ 8 & -4\end{array}\right] X.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
\dot{X}=A X,\qquad A=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 8 & -4\end{pmatrix},
ou seja, encontrar a solução geral X(t) (vetor com duas componentes) que satisfaz a equação para todo t. As informações dadas: a matriz A é a indicada acima. Não há condição inicial fornecida, então a solução deve vir com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Começo encontrando os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(-4-\lambda)-(-2)(8).
Calculando,
(4-\lambda)(-4-\lambda)=-(4-\lambda)(4+\lambda)=-(16-\lambda^2)=-16+\lambda^2,
e o outro termo é (-2)\cdot 8=-16, mas com sinal negativo na fórmula do determinante ele soma +16. Portanto
\det(A-\lambda I) = (-16+\lambda^2)+16=\lambda^2.
Logo os autovalores são as raízes de \lambda^2=0, isto é
\lambda=0\quad\text{(multiplicidade algébrica 2).}é

Passo 3

Agora encontro os autovetores associados a \lambda=0\), resolvendo \(A v=0\). Escrevendo \(v=(x,y)^T\), \[\begin{cases} 4x-2y=0,\\[4pt] 8x-4y=0, \end{cases}
ambas equações são equivalentes; da primeira obtemos (4x=2y\Rightarrow y=2x]. Portanto o espaço próprio (autovetores) é gerado por
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1), menor que a multiplicidade algébrica 2: a matriz não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para formar uma base de soluções.]

Passo 4

Uma observação útil: calcule A^2. Multiplicando
A^2=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]8 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]8 & -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}16-16 & -8+8\\[4pt]32-32 & -16+16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto A^2=0 (a matriz é nilpotente de índice 2). Isso tem duas consequências práticas importantes:
  • Na série do exponencial matricial \displaystyle e^{At}=I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\cdots, todos os termos a partir de (At)^2 são nulos, então
e^{At}=I+At.
  • Também mostra que existe apenas um autovetor e um autovetor generalizado: iremos usar isso para construir soluções.
Vou explicar rapidamente por que e^{At}=I+At. A definição é a série formal
e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^k}{k!}=I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\cdots.
Como (At)^2=A^2t^2=0, todos os termos com k\ge2 são zero, sobrando I+At.]

Passo 5

A solução geral do sistema linear homogêneo é dada por
X(t)=e^{At}C=(I+At)C,
onde C=X(0) é o vetor de constantes (dois constantes arbitrárias). Escrevendo C=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} e multiplicando, obtemos explicitamente
I+At=\begin{pmatrix}1+4t & -2t\\[4pt]8t & 1-4t\end{pmatrix},
logo
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(1+4t)c_1-2t\,c_2\\[6pt]8t\,c_1+(1-4t)c_2\end{pmatrix}.
Expliquei acima por que esta forma resolve a equação: derivando X(t) obtemos \dot{X}(t)=A C (pois derivada de I+At é A), e como A^2=0 tem-se A X(t)=A(I+At)C=A C + A^2 t C=A C, então \dot{X}=AX é satisfeita.]

Passo 6

Opcional — forma com autovetor e vetor generalizado (útil para provas): já temos autovetor v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Procuramos w tal que A w=v. Resolvendo
A\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a-2b\\[4pt]8a-4b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}
basta a primeira equação 4a-2b=1. Escolhendo a=\tfrac{1}{4} b=0, então podemos tomar
w=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Duas soluções fundamentais independentes do sistema são
\phi_1(t)=v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \phi_2(t)=t v+w=\begin{pmatrix}t+\tfrac{1}{4}\\[4pt]2t\end{pmatrix}.
Assim a solução geral pode também ser escrita como
X(t)=\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}+\beta\left(\,t\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]0\end{pmatrix}\right),
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Essa expressão é algebraicamente equivalente à forma com c_1,c_2 anterior.]

Resposta

X(t)=\bigl(I+At\bigr)C =\begin{pmatrix}1+4t & -2t\\[4pt]8t & 1-4t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(1+4t)c_1-2t\,c_2\\[6pt]8t\,c_1+(1-4t)c_2\end{pmatrix},
com c_1,c_2 constantes arbitrárias.]

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