(a) Determine os autovalores da matriz A.
(b) Para cada autovalor da matriz A encontre os autovetores correspondentes.
(c) Se possível, diagonalize a matriz A, ou seja, determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores de
e verificar se dá para diagonalizar A. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I), factorizar, achar as soluções \lambda, e então para cada \lambda resolver (A-\lambda I)x=0. Por fim, se encontrarmos 4 autovetores linearmente independentes, montamos P e D tais que A = P\,D\,P^{-1}.]
Para \lambda=\sqrt{13} chamemos \mu=\sqrt{13}. De (A-\mu I)x=0 vem um sistema 4\times 4 que, após eliminação, reduz-se a um único grau de liberdade. Escolhendo livre x_4=2, por exemplo, chega-se a