Considere a seguinte matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & -5 & -3 \\\\ 2 & -2 & -4 & 0 \\\\ -1 & 2 & 4 & 0 \\\\ 2 & -4 & -4 & 2 \end{array}\right]
(a) Determine os autovalores da matriz A.
(b) Para cada autovalor da matriz A encontre os autovetores correspondentes.
(c) Se possível, diagonalize a matriz A, ou seja, determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores de
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -3 \\[6pt] 2 & -2 & -4 & 0 \\[6pt] -1 & 2 & 4 & 0 \\[6pt] 2 & -4 & -4 & 2 \end{pmatrix}
e verificar se dá para diagonalizar A. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I), factorizar, achar as soluções \lambda, e então para cada \lambda resolver (A-\lambda I)x=0. Por fim, se encontrarmos 4 autovetores linearmente independentes, montamos P e D tais que A = P\,D\,P^{-1}.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -5 & -3 \\[3pt] 2 & -2-\lambda & -4 & 0 \\[3pt] -1 & 2 & 4-\lambda & 0 \\[3pt] 2 & -4 & -4 & 2-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e calculando com cuidado (ver Análise), obtemos
\det(A-\lambda I) = (\lambda-2)^2\bigl(\lambda^2 -13\bigr).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2\quad(\text{multiplicidade }2), \quad \lambda_2 = \sqrt{13}, \quad \lambda_3 = -\sqrt{13}.]

Passo 3

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0, i.e.
\begin{pmatrix} -2 & 1 & -5 & -3 \\[3pt] 2 & -4 & -4 & 0 \\[3pt] -1 & 2 & 2 & 0 \\[3pt] 2 & -4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} =0.
Deste sistema surge
x_1 = -4\,x_3 - 2\,x_4, \quad x_2 = -3\,x_3 - x_4,
com x_3 e x_4 livres. Tomando x_3=1,x_4=0 e x_3=0,x_4=1, obtemos duas bases independentes:
v_{1} = \begin{pmatrix}-4\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{2} = \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda=\sqrt{13} chamemos \mu=\sqrt{13}. De (A-\mu I)x=0 vem um sistema 4\times 4 que, após eliminação, reduz-se a um único grau de liberdade. Escolhendo livre x_4=2, por exemplo, chega-se a
x_1 = -\frac{\mu}{2}\,x_4 = -\mu, \quad x_2 = -\,x_4 = -2, \quad x_3 = \frac12\,x_4 = 1.
Logo um autovetor é
v_{3} = \begin{pmatrix}-\sqrt{13}\\\ -2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=-\sqrt{13} basta repetir o mesmo raciocínio com \mu=-\sqrt{13}. Escolhendo de novo x_4=2 obtemos
v_{4} = \begin{pmatrix}\sqrt{13}\\\ -2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 6

Como temos 4 autovetores linearmente independentes v_1,v_2 para \lambda=2 e v_3,v_4 para \pm\sqrt{13}, A é diagonalizável. Podemos tomar
P = \bigl[v_{1}\;v_{2}\;v_{3}\;v_{4}\bigr] = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -\sqrt{13} & \sqrt{13}\\[3pt] -3 & -1 & -2 & -2\\[3pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[3pt] 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix},
e
D = \operatorname{diag}\bigl(2,\,2,\,\sqrt{13},\,-\sqrt{13}\bigr).
Verifica-se que A = P\,D\,P^{-1}.]

Resposta

(a) Os autovalores são \displaystyle 2 (com multiplicidade 2), \displaystyle\sqrt{13} e \displaystyle -\sqrt{13}.
(b) Bases de autovetores:
\lambda=2:\quad \begin{pmatrix}-4\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}; \quad \lambda=\sqrt{13}:\; \begin{pmatrix}-\sqrt{13}\\\ -2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}; \quad \lambda=-\sqrt{13}:\; \begin{pmatrix}\sqrt{13}\\\ -2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
(c) Tomando
P = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -\sqrt{13} & \sqrt{13}\\[3pt] -3 & -1 & -2 & -2\\[3pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[3pt] 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \operatorname{diag}(2,2,\sqrt{13},-\sqrt{13}),
temos A = P\,D\,P^{-1}.]

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