Identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede pra identificar a cônica, escrever sua forma no “último” sistema de coordenadas usado (ou seja, depois de rotações e translações até chegar à forma canônica) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar classificação pela discriminante, depois rotação para eliminar o termo
e, por fim, translação para completar o quadrado.
Passo 2
Escrevendo como
temos
A discriminante (para classificar) é
logo a curva é uma parábola.
Passo 3
Para eliminar o termo misto usamos rotação de eixos de ângulo
tal que
Passo 4
Definimos os novos eixos
girados em torno da origem:
com
e
. Daí se obtém
Passo 5
Substituindo na equação original e usando fórmulas de transformação de coeficientes, chega-se a um novo polinômio sem termo
. Os coeficientes lineares transformam-se em
E o coeficiente de
passa a ser
e de
vira zero.
Passo 6
No sistema girado
a equação fica
Reorganizando para isolar
:
Passo 7
Agora completamos o quadrado em
:
Passo 8
Fazendo a translação final
a parábola assume a forma canônica mais simples
Passo 9
Na forma
vemos que a parábola abre para baixo no plano
com vértice em
. Voltando ao plano girado
, o vértice está em
. No plano original
esse ponto é
A reta eixo de simetria em
é
Esboço: uma parábola “deitada” a
no plano
, com vértice em
e eixo na reta
, abrindo no sentido que leva
a valores negativos.
Resposta
A cônica é uma parábola. No sistema final
obtido após rotação e translação, a equação canônica é
O esboço é uma parábola de vértice em
no plano
, abrindo “para baixo”, que no plano original corresponde a uma parábola com vértice em
e eixo de equação
.