Identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico.
8 x^{2}+8 y^{2}-16 x y+33 \sqrt{2} x-31 \sqrt{2} y+70=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
8x^{2}+8y^{2}-16xy+33\sqrt{2}\,x-31\sqrt{2}\,y+70=0
e pede pra identificar a cônica, escrever sua forma no “último” sistema de coordenadas usado (ou seja, depois de rotações e translações até chegar à forma canônica) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar classificação pela discriminante, depois rotação para eliminar o termo xy e, por fim, translação para completar o quadrado.

Passo 2

Escrevendo como
Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
temos
A=8,\quad 2B=-16\;\Rightarrow\;B=-8,\quad C=8.
A discriminante (para classificar) é
\Delta = B^2-AC = (-8)^2 - 8\cdot8 =64-64=0,
logo a curva é uma parábola.

Passo 3

Para eliminar o termo misto usamos rotação de eixos de ângulo \theta tal que
\tan(2\theta)=\frac{2B}{A-C}=\frac{2(-8)}{8-8}=\infty\quad\Rightarrow\quad 2\theta=-\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;\theta=-\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Definimos os novos eixos (X,Y) girados em torno da origem:
x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\quad y = X\sin\theta + Y\cos\theta
com \cos\theta=\tfrac{\sqrt2}{2} e \sin\theta=-\tfrac{\sqrt2}{2}. Daí se obtém
x = \frac{\sqrt2}{2}(X+Y),\quad y = \frac{\sqrt2}{2}(-X+Y).

Passo 5

Substituindo na equação original e usando fórmulas de transformação de coeficientes, chega-se a um novo polinômio sem termo XY. Os coeficientes lineares transformam-se em
D' = D\cos\theta + E\sin\theta =33\sqrt{2}\,\tfrac{\sqrt2}{2}+(-31\sqrt2)\,(-\tfrac{\sqrt2}{2})=64,
E' = -D\sin\theta + E\cos\theta =-33\sqrt{2}\,(-\tfrac{\sqrt2}{2})+(-31\sqrt2)\,\tfrac{\sqrt2}{2}=2.
E o coeficiente de X^2 passa a ser A'=16 e de Y^2 vira zero.

Passo 6

No sistema girado (X,Y) a equação fica
16X^2 +64X +2Y +70 = 0.
Reorganizando para isolar Y:
2Y = -16X^2 -64X -70 \quad\Longrightarrow\quad Y = -8X^2 -32X -35.

Passo 7

Agora completamos o quadrado em X:
Y = -8\bigl(X^2+4X\bigr)-35 = -8\bigl(X^2+4X+4\bigr)-35 +32 = -8(X+2)^2 -3.

Passo 8

Fazendo a translação final
U = X+2,\quad V = Y+3,
a parábola assume a forma canônica mais simples
V = -8\,U^2.

Passo 9

Na forma V=-8U^2 vemos que a parábola abre para baixo no plano (U,V) com vértice em (0,0). Voltando ao plano girado (X,Y), o vértice está em (X,Y)=(-2,-3). No plano original (x,y) esse ponto é
x=\frac{-2+(-3)}{\sqrt2}=-\frac{5}{\sqrt2},\quad y=\frac{2+(-3)}{\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}.
A reta eixo de simetria em (x,y) é
X=-2\;\Longrightarrow\;\frac{x-y}{\sqrt2}=-2 \;\Longrightarrow\;y = x+2\sqrt2.
Esboço: uma parábola “deitada” a 45\circ no plano xy, com vértice em \bigl(-\tfrac{5}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e eixo na reta y=x+2\sqrt2, abrindo no sentido que leva V a valores negativos.

Resposta

A cônica é uma parábola. No sistema final (U,V) obtido após rotação e translação, a equação canônica é
V = -8\,U^2.
O esboço é uma parábola de vértice em (0,0) no plano (U,V), abrindo “para baixo”, que no plano original corresponde a uma parábola com vértice em \bigl(-\tfrac{5}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e eixo de equação y=x+2\sqrt2.

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