Seja \mathcal{C} o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0,
\operatorname{com} a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}, sendo a, b e c não simultaneamente nulos. Consideremos a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} a & b / 2 \\\ b / 2 & c \end{array}\right] .
Sejam \lambda e \mu os autovalores de A.
(a) Mostre que \lambda \mu=a c-b^{2} / 4.
(b) Mostre que se \lambda \mu<0, então \mathcal{C} é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.
(c) Mostre que se \lambda \mu>0, então \mathcal{C} é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes.
(d) Mostre que se \lambda \mu=0, então \mathcal{C} é uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.
Passo 1
O enunciado pede a classificação do lugar geométrico
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0
em conica não degenerada ou degenerada, usando a matriz
a parte quadrática vira \lambda X^{2}+\mu Y^{2} e os termos lineares passam a ser d'X+e'Y para certos d',e'.]
Passo 4
Eliminamos os termos lineares por translação
X=U+h,\quad Y=V+k
escolhendo h e k tais que os coeficientes de U e V desapareçam. Obtemos a forma canônica
\lambda\,U^{2}+\mu\,V^{2}+\Delta=0,
onde \Delta é constante (função de a,b,c,d,e,f).
Passo 5
Se \lambda\mu>0, os coeficientes de U^{2} e V^{2} têm mesmo sinal. Então:
se -\Delta/\lambda>0 (e portanto -\Delta/\mu>0), a equação define elipse não degenerada;
se -\Delta=0, reduz-se a U=V=0, um ponto;
se -\Delta/\lambda<0, não há solução real, o conjunto é vazio.
Passo 6
Se \lambda\mu<0, o quadrático é indefinido. Então:
se \Delta\neq0, a forma \lambda U^{2}+\mu V^{2}=-\Delta é hipérbole não degenerada;
se \Delta=0, ela se factoriza em duas retas lineares que se cruzam no ponto U=V=0.
Passo 7
Se \lambda\mu=0, um dos autovalores, digamos \mu, é zero e só há um termo quadrático \lambda U^{2}. Após tradução fica uma equação do tipo \lambda U^{2}+e''V+\Delta=0. Então:
se e''\neq0, define parábola;
se e''=0 e \lambda\neq0, reduz-se a U=\pm\sqrt{-\Delta/\lambda}, duas retas paralelas (ou uma reta dupla se \Delta=0);
se \lambda=0 também, resta e''V+\Delta=0, uma reta (ou vazio se e''=0 e \Delta\neq0).
Resposta
(a) \lambda\mu=ac-\tfrac{b^{2}}{4}.
(b) Se \lambda\mu>0, então \mathcal{C} é elipse (não degenerada), ou ponto (se \Delta=0), ou conjunto vazio.
(c) Se \lambda\mu<0, então \mathcal{C} é hipérbole (não degenerada), ou par de retas concorrentes (se \Delta=0).
(d) Se \lambda\mu=0, então \mathcal{C} é parábola (se houver termo linear sobrevivente), ou par de retas paralelas, ou reta simples, ou conjunto vazio.