Seja \mathcal{C} o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0,
\operatorname{com} a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}, sendo a, b e c não simultaneamente nulos. Consideremos a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} a & b / 2 \\\ b / 2 & c \end{array}\right] .
Sejam \lambda e \mu os autovalores de A.
(a) Mostre que \lambda \mu=a c-b^{2} / 4.
(b) Mostre que se \lambda \mu<0, então \mathcal{C} é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.
(c) Mostre que se \lambda \mu>0, então \mathcal{C} é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes.
(d) Mostre que se \lambda \mu=0, então \mathcal{C} é uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.

Passo 1

O enunciado pede a classificação do lugar geométrico
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0
em conica não degenerada ou degenerada, usando a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b/2\\[6pt]b/2 & c\end{pmatrix}
cujos autovalores são \lambda e \mu. Vamos usar diagonalização ortogonal seguida de translação de eixos para obter a forma canônica
\lambda U^{2}+\mu V^{2}+\Delta=0
e então examinar os casos \lambda\mu>0, \lambda\mu<0 e \lambda\mu=0.]

Passo 2

Pela teoria de matrizes, o produto dos autovalores de A é o determinante de A. Calculamos
\det(A) =\begin{vmatrix}a & b/2\\[3pt]b/2 & c\end{vmatrix} =ac-\frac{b^{2}}{4}.
Logo
\lambda\,\mu=\det(A)=ac-\frac{b^{2}}{4}.]

Passo 3

Como A é simétrica, existe matriz ortogonal P tal que
P^{T}AP=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\[3pt]0 & \mu\end{pmatrix}.
Fazendo a mudança de variáveis ortonormal
\begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} =P\begin{pmatrix}X\\[3pt]Y\end{pmatrix},
a parte quadrática vira \lambda X^{2}+\mu Y^{2} e os termos lineares passam a ser d'X+e'Y para certos d',e'.]

Passo 4

Eliminamos os termos lineares por translação
X=U+h,\quad Y=V+k
escolhendo h e k tais que os coeficientes de U e V desapareçam. Obtemos a forma canônica
\lambda\,U^{2}+\mu\,V^{2}+\Delta=0,
onde \Delta é constante (função de a,b,c,d,e,f).

Passo 5

Se \lambda\mu>0, os coeficientes de U^{2} e V^{2} têm mesmo sinal. Então:
se -\Delta/\lambda>0 (e portanto -\Delta/\mu>0), a equação define elipse não degenerada;
se -\Delta=0, reduz-se a U=V=0, um ponto;
se -\Delta/\lambda<0, não há solução real, o conjunto é vazio.

Passo 6

Se \lambda\mu<0, o quadrático é indefinido. Então:
se \Delta\neq0, a forma \lambda U^{2}+\mu V^{2}=-\Delta é hipérbole não degenerada;
se \Delta=0, ela se factoriza em duas retas lineares que se cruzam no ponto U=V=0.

Passo 7

Se \lambda\mu=0, um dos autovalores, digamos \mu, é zero e só há um termo quadrático \lambda U^{2}. Após tradução fica uma equação do tipo \lambda U^{2}+e''V+\Delta=0. Então:
se e''\neq0, define parábola;
se e''=0 e \lambda\neq0, reduz-se a U=\pm\sqrt{-\Delta/\lambda}, duas retas paralelas (ou uma reta dupla se \Delta=0);
se \lambda=0 também, resta e''V+\Delta=0, uma reta (ou vazio se e''=0 e \Delta\neq0).

Resposta

(a) \lambda\mu=ac-\tfrac{b^{2}}{4}.
(b) Se \lambda\mu>0, então \mathcal{C} é elipse (não degenerada), ou ponto (se \Delta=0), ou conjunto vazio.
(c) Se \lambda\mu<0, então \mathcal{C} é hipérbole (não degenerada), ou par de retas concorrentes (se \Delta=0).
(d) Se \lambda\mu=0, então \mathcal{C} é parábola (se houver termo linear sobrevivente), ou par de retas paralelas, ou reta simples, ou conjunto vazio.

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