Mostre, usando coordenadas, que se
e
são dois pares de segmentos equipolentes, e
e
são os pontos médios dos segmentos
e
, respectivamente, então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem dois pares de segmentos de reta que são iguais:
Além disso, temos os pontos médios desses segmentos:
-
é o ponto médio de -
é o ponto médio de -
é o ponto médio de -
é o ponto médio de
O objetivo é mostrar que os segmentos
e
têm o mesmo comprimento, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas para representar os pontos e calcular as distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos atribuir coordenadas aos pontos. Para simplificar, podemos posicionar os pontos de forma que:
-
esteja na origem, então -
-
será igual a , mas vamos dar coordenadas diferentes para evitar confusão. Como , podemos dizer que e
Da mesma forma, para os outros segmentos:
-
-
-
-
, já que
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios:
-
é o ponto médio de , então:
-
é o ponto médio de , então:
-
é o ponto médio de , então:
-
é o ponto médio de , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as coordenadas de
e
:
Para
:
A diferença nas coordenadas é:
Então, o comprimento de
é:
Para
:
A diferença nas coordenadas é:
Então, o comprimento de
é:
Passo 5
Observamos que as expressões para
e
são idênticas:
Portanto,
.
Resposta
Concluímos que os segmentos
e
são iguais, ou seja,
.