Mostre, usando coordenadas, que se A B equiv C D e E F equiv G H são dois pares de segmentos equipolentes, e M, N, P e Q são os pontos médios dos segmentos A E, B F, C G e D H, respectivamente, então M N equiv P Q.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem dois pares de segmentos de reta que são iguais:
  • A B equiv C D
  • E F equiv G H
Além disso, temos os pontos médios desses segmentos:
  • M é o ponto médio de A E
  • N é o ponto médio de B F
  • P é o ponto médio de C G
  • Q é o ponto médio de D H
O objetivo é mostrar que os segmentos M N e P Q têm o mesmo comprimento, ou seja, M N equiv P Q. Para resolver isso, vamos usar coordenadas para representar os pontos e calcular as distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos atribuir coordenadas aos pontos. Para simplificar, podemos posicionar os pontos de forma que:
  • A esteja na origem, então A (0, 0)
  • B (x1, y1)
  • C será igual a D, mas vamos dar coordenadas diferentes para evitar confusão. Como A B equiv C D, podemos dizer que C (x2, y2) e D (x2 + x1, y2 + y1)
Da mesma forma, para os outros segmentos:
  • E (x3, y3)
  • F (x4, y4)
  • G (x5, y5)
  • H (x5 + x4 - x3, y5 + y4 - y3), já que E F equiv G H

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios:
  • M é o ponto médio de A E, então:
M ( 0 + x32, 0 + y32 ) = ( x32, y32 )
  • N é o ponto médio de B F, então:
N ( x1 + x42, y1 + y42 )
  • P é o ponto médio de C G, então:
P ( x2 + x52, y2 + y52 )
  • Q é o ponto médio de D H, então:
Q ( x2 + x1 + x5 + x4 - x32, y2 + y1 + y5 + y4 - y32 )

Passo 4

Agora, vamos calcular as coordenadas de M N e P Q:
Para M N:
M ( x32, y32 )
N ( x1 + x42, y1 + y42 )
A diferença nas coordenadas é:
Nx - Mx = x1 + x42 - x32 = x1 + x4 - x32
Ny - My = y1 + y42 - y32 = y1 + y4 - y32
Então, o comprimento de M N é:
M N = raiz ( x1 + x4 - x32 )^2 + ( y1 + y4 - y32 )^2
Para P Q:
P ( x2 + x52, y2 + y52 )
Q ( x2 + x1 + x5 + x4 - x32, y2 + y1 + y5 + y4 - y32 )
A diferença nas coordenadas é:
Qx - Px = x2 + x1 + x5 + x4 - x32 - x2 + x52 = x1 + x4 - x32
Qy - Py = y2 + y1 + y5 + y4 - y32 - y2 + y52 = y1 + y4 - y32
Então, o comprimento de P Q é:
P Q = raiz ( x1 + x4 - x32 )^2 + ( y1 + y4 - y32 )^2

Passo 5

Observamos que as expressões para M N e P Q são idênticas:
M N = raiz ( x1 + x4 - x32 )^2 + ( y1 + y4 - y32 )^2 = P Q
Portanto, M N equiv P Q.

Resposta

Concluímos que os segmentos M N e P Q são iguais, ou seja, M N equiv P Q.

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