Considere a seguinte matriz de mudança da base para a base
Encontre:

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de coordenadas da base beta para a base alpha:
A = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
e pede para encontrar [v]beta sabendo que
[v]alpha = -123
O conteúdo envolvido é mudança de base em espaços vetoriais finito-dimensionais, usando a relação
[v]alpha ;=; A,[v]beta

Passo 2

Da relação de mudança de base temos
[v]alpha = A,[v]beta
Para isolar [v]beta, basta inverter A:
[v]beta = A^-1,[v]alpha

Passo 3

Vamos calcular A^-1 por adjunta e determinante. Primeiro o determinante de A:
det(A) =1cdotdet-1 & 10 & -1 -1cdotdet0 & 11 & -1 +0cdotl(cdotsr) =1cdot(1)-1cdot(-1)=2
Em seguida, a matriz dos cofatores de A é
Cof(A)= 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 ,
portanto a adjunta (transposta dos cofatores) é
adj(A)= 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1
Logo
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 12 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1

Passo 4

Agora multiplicamos A^-1 por [v]alpha:
A^-1,[v]alpha =12 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 -123 =12 -1+2+3 -1-2-3 -1+2-3 =12 4-6-2 = 2-3-1

Resposta

[v]beta = 2-3-1

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