- Sejam
e
os subespaços de
. temos que:
i)
ii)
.
iii)
.
Quando a soma é direta? Justifique!
i)
ii)
iii)
Quando a soma é direta? Justifique!
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
:
U={(a,b,c);;;a+b+c=0}, V={(a,b,c);;;a=c}, W={(0,0,c)}. Precisamos verificar para cada par se a soma gera e quando ela é direta. O conteúdo usado será soma de subespaços, dimensão, interseção e condição de soma direta (interseção trivial).
U={(a,b,c);;;a+b+c=0}, V={(a,b,c);;;a=c}, W={(0,0,c)}. Precisamos verificar para cada par se a soma gera
Passo 2
Vamos primeiro calcular as dimensões de
.
U é o plano definido por
logo
.
V é o plano , ou seja
, então
.
W é a reta , logo
.
V é o plano
W é a reta
Passo 3
Analisando
: usaremos o teorema de dimensão
Para achar
impomos
Substituindo
dá
⇒
. Logo
ou seja
. Assim
e portanto
.
Passo 4
Analisando
: novamente
Em
temos vetores
que satisfazem
com
, logo
. Assim
e
. Logo
Passo 5
Analisando
: similarmente
Em
vetores de
são
e em
exigimos
, então
⇒
. Logo
e
. Assim
Passo 6
Uma soma
é direta se e somente se
. Vemos que
(dimensão 1), então
não é direta,
enquanto e
, logo as somas
e
são diretas.
enquanto
Resposta
As três somas valem
. Dessas, apenas
e
são diretas (pois suas interseções são {0}), enquanto
não é direta.