1. Sejam U=(a, b, c) ; a+b+c=0, V=(a, b, c) ; a=c e W=(0,0, c) os subespaços de R^3. temos que:
    i) R^3=U+V
    ii) R^3=U+W.
    iii) R^3=V+W.
    Quando a soma é direta? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de R^3:
U={(a,b,c);;;a+b+c=0}, V={(a,b,c);;;a=c}, W={(0,0,c)}. Precisamos verificar para cada par se a soma gera R^3 e quando ela é direta. O conteúdo usado será soma de subespaços, dimensão, interseção e condição de soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Vamos primeiro calcular as dimensões de U,V,W.
U é o plano definido por
a+b+c=0
logo dim U=2.
V é o plano a=c, ou seja (a,b,a)=a(1,0,1)+b(0,1,0), então dim V=2.
W é a reta (0,0,c)=c(0,0,1), logo dim W=1.

Passo 3

Analisando U+V: usaremos o teorema de dimensão
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)
Para achar Ucap V impomos
a+b+c=0, a=c
Substituindo c=a a+b+a=0 b=-2a. Logo
Ucap V=(a,-2a,a)=rm span(1,-2,1),
ou seja dim(Ucap V)=1. Assim
dim(U+V)=2+2-1=3
e portanto U+V=R^3.

Passo 4

Analisando U+W: novamente
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Em Ucap W temos vetores (0,0,c) que satisfazem a+b+c=0 com a=b=0, logo c=0. Assim Ucap W=0 e dim(U+W)=2+1-0=3. Logo
U+W=R^3

Passo 5

Analisando V+W: similarmente
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)
Em Vcap W vetores de W são (0,0,c) e em V exigimos a=c, então 0=c c=0. Logo Vcap W=0 e dim(V+W)=2+1=3. Assim
V+W=R^3

Passo 6

Uma soma X+Y é direta se e somente se Xcap Y=0. Vemos que
Ucap Vneq0 (dimensão 1), então U+V não é direta,
enquanto Ucap W=0 e Vcap W=0, logo as somas U+W e V+W são diretas.

Resposta

As três somas valem R^3. Dessas, apenas U+W e V+W são diretas (pois suas interseções são {0}), enquanto U+V não é direta.

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