A matriz mudança da base beta1=1+t, 1-t^2 para uma base beta2, ambas do mesmo subespaço de P2(R) é (cc1 & 2 1 & -1). Determine beta2.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço de P2(R) com duas bases
beta1=,1+t,;1-t^2 e beta2=beta2,1,beta2,2 (esta última desconhecida), e informa que a matriz de mudança de base de beta1 para beta2 é
M = 1 & 21 & -1
Sabemos que, para todo vetor v, vale
[v]beta2 ;=; M,[v]beta1,
e que as colunas de M são as coordenadas, em beta2, dos vetores de beta1.

Passo 2

Sejam beta2,1 e beta2,2 os vetores (polinômios) de beta2. Então as colunas de M nos dizem:
1) a primeira coluna 11 significa
1+t ;=;1cdotbeta2,1 ;+;1cdotbeta2,2,
2) a segunda coluna 2-1 significa
1 - t^2 ;=;2cdotbeta2,1 ;-;1cdotbeta2,2

Passo 3

Escrevendo o sistema
beta2,1 + beta2,2 = 1 + t,[6pt] 2,beta2,1 - beta2,2 = 1 - t^2,
somamos as duas equações para eliminar beta2,2:
beta2,1 + beta2,2 ;+; 2,beta2,1-beta2,2 ;=;(1+t)+(1-t^2) Longrightarrow 3,beta2,1 = 2 + t - t^2
Logo,
beta2,1 = 2 + t - t^23
]

Passo 4

Substituímos beta2,1 na primeira equação para achar beta2,2:
beta2,2 = (1+t) - beta2,1 = (1+t) - 2 + t - t^23 = 3(1+t) - (2 + t - t^2)3 = 1 + 2t + t^23

Resposta

beta2 ;=;l;tfrac2 + t - t^23,;tfrac1 + 2t + t^23r

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