Mostre que o conjunto S=(1-i, i),(2,-1+i) forma uma base do espaço C^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = v1,v2subset C^2, v1=(1 - i,;i),;v2=(2,,-1 + i)
forma uma base de C^2.
Em espaços vetoriais de dimensão 2, basta mostrar que v1 e v2 são linearmente independentes (equivalente a ter determinante não nulo), pois então automaticamente geram todo C^2.

Passo 2

Organizamos v1 e v2 como colunas de uma matriz A in M2(C):
A = 1 - i & 2 i & -1 + i
O critério de independência é
det(A) neq 0

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A) = (1 - i),( -1 + i);-;2cdot i
Primeiro
(1 - i)(-1 + i) =1cdot(-1)+1cdot i +(-i)cdot(-1)+(-i)cdot i =-1 + i + i - i^2 =-1 + 2i -(-1) =2i
Logo
det(A) =2i - 2i =0

Passo 4

Como det(A)=0, concluímos que v1 e v2 são linearmente dependentes em C^2. Portanto eles não podem formar uma base (pois não geram todo o espaço).

Resposta

O conjunto S não forma uma base de C^2, pois suas duas componentes são linearmente dependentes (determinante nulo).

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