Considere a seguinte matriz A, onde k é um parâmetro real:
A=[ccc 1 & 0 & 1 0 & k & 2 -1 & 1 & k ]
a) Calcule o determinante de A em função de k.
b) Determine os valores de k para os quais a matriz A é invertível.

Passo 1

E aí, olha só a parada: temos a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & k & 2 -1 & 1 & k
O que a questão pede é:
a) calcular o determinante de A em função de k;
b) descobrir para quais valores de k a matriz A é invertível.
Esse é um assunto de Álgebra Linear (determinante de matriz 3×3 e invertibilidade). Pra isso, vamos usar a expansão em cofatores (regra de Laplace) no próximo passo.

Passo 2

Pra matriz 3×3
M = a & b & c d & e & f g & h & i ,
a definição é
det(M) = a(ei - fh) ;-; b(di - fg) ;+; c(dh - eg)
Aqui, na nossa matriz, identificamos:
a=1,; b=0,; c=1, d=0,; e=k,; f=2, g=-1,; h=1,; i=k
Bora aplicar essa fórmula!

Passo 3

Substituindo cada termo:
  1. Primeiro cofator:
a,(ei - fh) = 1,(kcdot k ;-; 2cdot1) = k^2 - 2
  1. Segundo cofator:
-,b,(di - fg) = -,0,(0cdot k ;-; 2cdot(-1)) = 0
  1. Terceiro cofator:
c,(dh - eg) = 1,(0cdot1 ;-; kcdot(-1)) = k
Somando tudo, dá
det(A) = (k^2 - 2) + 0 + k = k^2 + k - 2

Passo 4

Pra saber quando A é invertível, lembramos:
A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 éí
E como
det(A) = k^2 + k - 2 = (k+2)(k-1),
a condição det(A)neq 0 vira
(k+2)(k-1)neq 0 Longrightarrow kneq -2,; kneq 1

Resposta

a) det(A) = k^2 + k - 2
b) A é invertível para todos os kinR, exceto k = -2 e k = 1.

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