É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial
que não seja trivial (isto é, não contenha apenas o vetor zero) e que, ainda assim, tenha número finito de elementos. O conteúdo necessário envolve noções de corpo (campo) de escalares, dimensão de
, base e contagem de combinações lineares.
Passo 2
Suponha que
seja de dimensão finita
sobre um corpo finito
de cardinalidade
. Seja
uma base de
. Qualquer vetor
escreve-se de forma única como
com
. Como há exatamente
escolhas para cada
e
coeficientes, o número total de vetores em
é
que é finito (e maior que 1 justamente porque
e
).
Passo 3
Se o corpo de escalares
for infinito, então para qualquer vetor não nulo
a aplicação
é injetora. Como
é infinito, segue que
também é infinito sempre que
não for trivial.
Resposta
Sim. Um espaço vetorial não trivial pode ter número finito de elementos se, e somente se, o corpo de escalares for finito. Nesse caso, sendo
e
, tem-se
.