É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial V que não seja trivial (isto é, não contenha apenas o vetor zero) e que, ainda assim, tenha número finito de elementos. O conteúdo necessário envolve noções de corpo (campo) de escalares, dimensão de V, base e contagem de combinações lineares.

Passo 2

Suponha que V seja de dimensão finita n sobre um corpo finito F de cardinalidade lvert Frvert=q. Seja v1,dots,vn uma base de V. Qualquer vetor vin V escreve-se de forma única como
v = sumi=1^n alphai vi,
com alphaiin F. Como há exatamente q escolhas para cada alphai e n coeficientes, o número total de vetores em V é
lvert Vrvert = q^n,
que é finito (e maior que 1 justamente porque n>=1 e q>=2).

Passo 3

Se o corpo de escalares F for infinito, então para qualquer vetor não nulo v1in V a aplicação
F longrightarrow V, alpha mapsto alpha,v1
é injetora. Como lvert Frvert é infinito, segue que lvert Vrvert também é infinito sempre que V não for trivial.

Resposta

Sim. Um espaço vetorial não trivial pode ter número finito de elementos se, e somente se, o corpo de escalares for finito. Nesse caso, sendo dim V=n e lvert Frvert=q, tem-se lvert Vrvert=q^n.

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