Resolva os seguintes sistemas lineares e classifique-os como SPD, SPI ou SI.
lx+y+z=6 2 x-y+z=3 x+2 y-z=2

Passo 1

Tranquilo! A questão pede para a gente resolver o sistema linear abaixo e dizer se ele é SPD (solução única), SPI (infinitas soluções) ou SI (sem solução):
x + y + z = 6 2x - y + z = 3 x + 2y - z = 2
Conteúdo envolvido: sistemas lineares, eliminação gaussiana (ou uso de determinante) e classificação pelo determinante/posto da matriz. Vamos precisar entender operações elementares em linhas, retro‐substituição e o critério do determinante.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação gaussiana passo a passo:
Matriz aumentada inicial:
  1. Usamos a linha 1 (L1) como pivô para zerar abaixo:
    • L2 ← L2 − 2·L1 ⇒
      .
    • L3 ← L3 − 1·L1 ⇒
      .
Ficamos com
  1. Agora usamos a nova linha 2 (L2) como pivô para zerar o 1 em L3, coluna 2:
    • L3 ← L3 + ·L2 ⇒
      .
Matriz triangular superior:

Passo 3

Fazemos retro‐substituição a partir da última equação:
3ª eq ⇒ -tfrac73,z = -7
z = -7-tfrac73 = 3
2ª eq ⇒ -3,y - z = -9, substituindo z=3:
-3y - 3 = -9 Longrightarrow -3y = -6 Longrightarrow y = 2
1ª eq original ⇒ x + y + z = 6, com y=2, z=3:
x + 2 + 3 = 6 Longrightarrow x = 1

Passo 4

Classificação SPD/SPI/SI:
  • Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema é SPD (solução única).
  • Aqui, det A neq 0 (ou vimos que chegamos a 3 pivôs não‐nulos), então é SPD.

Resposta

O sistema tem solução única
(x,y,z) = (1,,2,,3)
e, por isso, é classificado como SPD.

Exercícios relacionados