Considere a seguinte matriz de planejamento em que 1ni é o vetor constante de l’s e 0ni é o vetor constante de zeros, ambos de tamanho n.
a) Qual modelo a matriz representa?
b) Se g é o número de grupos (ou tratamentos) e sabendo que ni é o número de observação em cada grupo e que o modelo é completamente balanceado, com um total de observações n=g times ni=36, escreva a matriz X^t X e encontre c:c:c|c 1ni & 1ni & 0ni & 0ni hdashline 1ni & 0ni & 1ni & 0ni hdashline 1ni & 0ni & 0ni & 1ni hdashline 1ni & -1ni & -1ni & -1ni .
[
X=\left[ \right]

Passo 1

O enunciado descreve uma matriz de planejamento de um modelo de efeitos fixos para um único fator com g grupos, usando restrição de soma zero nas contrapartidas; o conteúdo é um modelo de ANOVA one‐way, cabendo calcular X^tX e sua inversa no caso balanceado com n=g ni=36.

Passo 2

Como vemos em X, há uma coluna intercepto (vetor de uns) e três colunas de efeitos de tratamento, cada uma codificando a presença do grupo 1, 2 ou 3 como +1 e do grupo 4 como –1 (soma dos efeitos igual a zero). Como há 4 grupos e n=36, segue que g=4 e ni=9.

Passo 3

Para montar X^tX, note que a coluna do intercepto é ortogonal às colunas de efeito e que cada coluna de efeito tem ni valores +1 e ni valores –1. Isso leva a
X^tX=4ni&0&0&00&2ni&ni&ni0&ni&2ni&ni0&ni&ni&2ni

Passo 4

O bloco de efeitos de tratamento é M=ni2&1&11&2&11&1&2=ni(I3+J3), onde J3 é a matriz de uns 3×3. Usando a fórmula (I+J)^-1=I-tfrac11+3J=I-tfrac14J, temos
M^-1=1nil(I3-tfrac14J3r)

Passo 5

Como o intercepto está isolado, obtemos
(X^tX)^-1=tfrac14ni&00&M^-1=tfrac14ni&0&0&00&tfrac1ni(I3-tfrac14J3)

Passo 6

Por fim, substituindo ni=9, chegamos ao resultado numérico.

Resposta

X^tX=36&0&0&00&18&9&90&9&18&90&9&9&18,(X^tX)^-1=tfrac136&0&0&00&tfrac19(I3-tfrac14J3)=1/36&0&0&00&1/12&-1/36&-1/360&-1/36&1/12&-1/360&-1/36&-1/36&1/12

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