Considere a seguinte matriz de planejamento em que é o vetor constante de l’s e é o vetor constante de zeros, ambos de tamanho .
a) Qual modelo a matriz representa?
b) Se é o número de grupos (ou tratamentos) e sabendo que é o número de observação em cada grupo e que o modelo é completamente balanceado, com um total de observações , escreva a matriz e encontre .
[
X=\left[\right]
Passo 1
O enunciado descreve uma matriz de planejamento de um modelo de efeitos fixos para um único fator com g grupos, usando restrição de soma zero nas contrapartidas; o conteúdo é um modelo de ANOVA one‐way, cabendo calcular e sua inversa no caso balanceado com .
Passo 2
Como vemos em , há uma coluna intercepto (vetor de uns) e três colunas de efeitos de tratamento, cada uma codificando a presença do grupo 1, 2 ou 3 como +1 e do grupo 4 como –1 (soma dos efeitos igual a zero). Como há 4 grupos e , segue que e .
Passo 3
Para montar , note que a coluna do intercepto é ortogonal às colunas de efeito e que cada coluna de efeito tem valores +1 e valores –1. Isso leva a
Passo 4
O bloco de efeitos de tratamento é M=ni2&1&11&2&11&1&2=ni(I3+J3), onde J3 é a matriz de uns 3×3. Usando a fórmula (I+J)^-1=I-tfrac11+3J=I-tfrac14J, temos