Expresse as formas quadráticas em notação matricial mathbfx^mathbft mathbfA mathbfx, em que mathbfA é uma matriz simétrica:
Q(mathbfx)=x1^2+x2^2-3 x3^2-5 x1 x2+9 x1 x3;

Passo 1

Temos a forma quadrática Q(x) = x1^2 + x2^2 - 3 x3^2 - 5 x1x2 + 9 x1x3. Queremos expressá-la como Q(x) = x^tAx, onde A é simétrica. Na teoria de formas quadráticas, os termos xi^2 determinam as entradas diagonais Aii e os termos xixj determinam 2Aij.

Passo 2

Olhemos primeiro para os termos quadráticos puros. Eles nos dizem que
A11 = 1, A22 = 1, A33 = -3

Passo 3

Agora tratamos os termos mistos. Para x1x2, o coeficiente é -5, logo
2A12 = -5 implies A12 = A21 = -52
Para x1x3, o coeficiente é 9, logo
2A13 = 9 implies A13 = A31 = 92
Não há termo x2x3, então
A23 = A32 = 0

Passo 4

Com esses valores, montamos a matriz simétrica A completa:

Resposta

A forma matricial é
A = 1 & -dfrac52 & dfrac92 -dfrac52 & 1 & 0 dfrac92 & 0 & -3

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