Expresse as formas quadráticas em notação matricial mathbfx^mathbft mathbfA mathbfx, em que mathbfA é uma matriz simétrica:
Q(mathbfx)=4 x1^2+7 x2^2;

Passo 1

O enunciado pede expressar a forma quadrática $Q(\mathbf{x})=4x_{1}{2}+7x_{2}{2}$ em notação matricial $\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$, onde $\mathbf{A}$ é simétrica. O conteúdo é forma quadrática e representação matricial, e precisamos encontrar $\mathbf{A}$.

Passo 2

Vamos considerar a matriz simétrica geral 2×2 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}$. Pelo produto, temos $\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=a x_{1}^{2} + 2b x_{1}x_{2} + c x_{2}^{2}$.

Passo 3

Comparando com $Q(\mathbf{x})$, vemos que não há termo x_{1}x_{2}, então $2b=0$ implica $b=0$. Além disso, $a=4$ para o termo $x_{1}^{2}$ e $c=7$ para $x_{2}^{2}$. Assim, $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}$.

Resposta

A = $\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}$

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