Expresse as formas quadráticas em notação matricial
, em que
é uma matriz simétrica:
;
Passo 1
O enunciado pede expressar a forma quadrática $Q(\mathbf{x})=4x_{1}{2}+7x_{2}{2}$ em notação matricial $\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$, onde $\mathbf{A}$ é simétrica. O conteúdo é forma quadrática e representação matricial, e precisamos encontrar $\mathbf{A}$.
Passo 2
Vamos considerar a matriz simétrica geral 2×2 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}$. Pelo produto, temos $\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=a x_{1}^{2} + 2b x_{1}x_{2} + c x_{2}^{2}$.
Passo 3
Comparando com $Q(\mathbf{x})$, vemos que não há termo x_{1}x_{2}, então $2b=0$ implica $b=0$. Além disso, $a=4$ para o termo $x_{1}^{2}$ e $c=7$ para $x_{2}^{2}$. Assim, $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}$.
Resposta
A = $\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}$