Num estudo sobre inibidores de ferrugem, quatro misturas M1, M2, M3 e M4 foram estudadas. Um experimento foi realizado com n=20 peças separadas aleatoriamente em quatro grupos com essas misturas, cada um recebendo ni=5 peças, i=1,2,3,4. Decorrido um tempo após o tratamento antiferrugem, as peças foram avaliadas e a área atacada foi medida. Os dados são apresentados na tabela abaixo. Com Y = área da peça atacada pela ferrugem, analise os dados através de um modelo com matriz de posto incompleto.
a) Escreva a matriz X para o modelo de efeitos tal que X seja de posto completo e encontre X^t X.
b) Escreva o vetor X^t y e encontre a estimativa dos efeitos.
c) Calcule as médias amostrais e verifique que os efeitos são dados por |c|c|c|c|c| hline mu.
d) Com os valores obtidos, você diria que há o “efeito” da mistura antiferrugem, ou seja, que as misturas apresentaram resultados diferentes. Em caso afirmativo, você conseguiria afirmar qual a melhor mistura no combate à ferrugem?
Unidades
em teste
Mistura antiferrugem
M1 M2 M3 M4
1 44 90 68 36
2 39 87 69 45
3 47 93 67 41
4 46 92 66 40
5 44 88 70 38

Passo 1

Estamos lidando com um desenho inteiramente casualizado com quatro tratamentos (misturas M1–M4), 5 repetições cada, total n=20. O objetivo é ajustar um modelo linear para estimar as médias de cada mistura e seus “efeitos” e depois testar se há diferença entre elas.

Passo 2

Escolhemos o modelo sem intercepto mas com 4 parâmetros α_i (um para cada mistura), ou seja, Y_{ij}=α_i+ε_{ij}. A matriz X tem dimensão 20×4 e é composta por colunas indicadoras de cada mistura. Assim,
X'^X= 5&0&0&0 0&5&0&0 0&0&5&0 0&0&0&5

Passo 3

O vetor X’^{}y reúne as somas das observações em cada mistura:
X'^y= sumM1y sumM2y sumM3y sumM4y = 220450340200

Passo 4

Como α̂= (X'^X)^-1X'^y, temos
$$α̂=\frac1{5} α̂=15220450340200=44906840 = .
$$

Passo 5

As médias amostrais em cada mistura são bar yi=α̂i e a média geral é
$$\bar y=\frac{44+90+68+40}{4}=60.5.
$$

Passo 6

Logo os efeitos estimados (com restrição soma zero) são
$$τ̂_i=\bar y_i-\bar y={44-60.5,;90-60.5,;68-60.5,;40-60.5}={-16.5,29.5,7.5,-20.5}.
$$

Passo 7

Para testar se há efeito de mistura, fazemos ANOVA:
  • Soma de quadrados Tratamento:
SST=sumi=1^4 5(bar yi-bar y)^2=5(272.25+870.25+56.25+420.25)=8095
- Soma de quadrados do erro:
SSE=sumi,j(yij-bar yi)^2=38+26+10+46=120
  • MST=SST/3≈2698.33, MSE=SSE/16=7.5, F≈2698.33/7.5≈359.8. Com F3,16;0.05≈3.24, rejeitamos H₀: as misturas diferem.

Passo 8

A melhor mistura é a que apresenta menor área atacada: M4 (média 40), seguida de M1 (44), M3 (68) e a pior M2 (90).

Resposta

a) X é a matriz 20×4 de indicadoras de grupo (sem intercepto) e X’X=diag(5,5,5,5). b) X’y=(220,450,340,200)’ e α̂=(44,90,68,40)’. c) bar yi=α̂i, bar y=60.5 e τ̂i=bar yi-bar y. d) Há efeito significativo (F≈359.8≫3.24). A melhor mistura é M4.

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