Num estudo sobre inibidores de ferrugem, quatro misturas M1, M2, M3 e M4 foram estudadas. Um experimento foi realizado com peças separadas aleatoriamente em quatro grupos com essas misturas, cada um recebendo peças, . Decorrido um tempo após o tratamento antiferrugem, as peças foram avaliadas e a área atacada foi medida. Os dados são apresentados na tabela abaixo. Com = área da peça atacada pela ferrugem, analise os dados através de um modelo com matriz de posto incompleto.
a) Escreva a matriz para o modelo de efeitos tal que seja de posto completo e encontre .
b) Escreva o vetor e encontre a estimativa dos efeitos.
c) Calcule as médias amostrais e verifique que os efeitos são dados por .
d) Com os valores obtidos, você diria que há o “efeito” da mistura antiferrugem, ou seja, que as misturas apresentaram resultados diferentes. Em caso afirmativo, você conseguiria afirmar qual a melhor mistura no combate à ferrugem?
Unidades
em teste
Mistura antiferrugem
M1
M2
M3
M4
1
44
90
68
36
2
39
87
69
45
3
47
93
67
41
4
46
92
66
40
5
44
88
70
38
Passo 1
Estamos lidando com um desenho inteiramente casualizado com quatro tratamentos (misturas M1–M4), 5 repetições cada, total n=20. O objetivo é ajustar um modelo linear para estimar as médias de cada mistura e seus “efeitos” e depois testar se há diferença entre elas.
Passo 2
Escolhemos o modelo sem intercepto mas com 4 parâmetros α_i (um para cada mistura), ou seja, Y_{ij}=α_i+ε_{ij}. A matriz X tem dimensão 20×4 e é composta por colunas indicadoras de cada mistura. Assim,
Passo 3
O vetor X’^{}y reúne as somas das observações em cada mistura:
X'^y= sumM1y sumM2y sumM3y sumM4y = 220450340200
Passo 4
Como α̂= (X'^X)^-1X'^y, temos
$$α̂=\frac1{5}α̂=15220450340200=44906840 =.
$$
Passo 5
As médias amostrais em cada mistura são bar yi=α̂i e a média geral é
$$\bar y=\frac{44+90+68+40}{4}=60.5.
$$
Passo 6
Logo os efeitos estimados (com restrição soma zero) são
Para testar se há efeito de mistura, fazemos ANOVA:
Soma de quadrados Tratamento:
SST=sumi=1^4 5(bar yi-bar y)^2=5(272.25+870.25+56.25+420.25)=8095
- Soma de quadrados do erro: SSE=sumi,j(yij-bar yi)^2=38+26+10+46=120
MST=SST/3≈2698.33, MSE=SSE/16=7.5, F≈2698.33/7.5≈359.8. Com F3,16;0.05≈3.24, rejeitamos H₀: as misturas diferem.
Passo 8
A melhor mistura é a que apresenta menor área atacada: M4 (média 40), seguida de M1 (44), M3 (68) e a pior M2 (90).
Resposta
a) X é a matriz 20×4 de indicadoras de grupo (sem intercepto) e X’X=diag(5,5,5,5). b) X’y=(220,450,340,200)’ e α̂=(44,90,68,40)’. c) bar yi=α̂i, bar y=60.5 e τ̂i=bar yi-bar y. d) Há efeito significativo (F≈359.8≫3.24). A melhor mistura é M4.