Considere a seguinte matriz
A=(cc 2 & -1 -1 & 2 )
Responda as seguintes questões:
(3) Calcule os autovalores e autovetores de A^2;

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de A^2, onde
A = 2 & -1 [6pt] -1 & 2
Como A é simétrica, sabemos que existem dois autovalores reais e autovetores ortogonais. Além disso, se lambda é autovalor de A com autovetor v, então lambda^2 é autovalor de A^2 com o mesmo autovetor v. Logo, basta achar os autovalores e autovetores de A e elevar os autovalores ao quadrado.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, resolvemos
det(A - lambda I) = det2-lambda & -1 [4pt] -1 & 2-lambda = (2-lambda)^2 - 1 = 0
Portanto,
(2-lambda)^2 = 1 Longrightarrow 2-lambda = pm 1 Longrightarrow lambda1 = 1, lambda2 = 3
Os autovetores correspondentes satisfazem (A-lambda I)v=0. Para lambda1=1:
1 & -1 -1 &1v=0 Longrightarrow v1 = 11
Para lambda2=3:
-1 & -1 -1 &-1v=0 Longrightarrow v2 = 1-1 ]

Passo 3

Pelo fato de A^2v = A(Av) = A(lambda v) = lambda,Av = lambda^2 v, concluímos que os autovalores de A^2 são
mu1 = lambda1^2 = 1^2 = 1, mu2 = lambda2^2 = 3^2 = 9,
com os mesmos autovetores v1 e v2 encontrados acima.

Resposta

Os autovalores de A^2 são 1 e 9.
Um conjunto de autovetores associados é
mu1 = 1com v1 = 11, mu2 = 9com v2 = 1-1

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