Seja M=(lll2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2). Determine a diagonalização de M, caso seja diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá a matriz real simétrica
M = 2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2
e pede sua diagonalização. Como M é simétrica, sabemos que ela é diagonalizável em base ortonormal de autovetores. Vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, em seguida, obter os autovetores.

Passo 2

O polinômio característico é
det(M - lambda I) =det 2-lambda & 1 & 0 1 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda
Fazendo a expansão pela primeira linha, obtemos
det(M-lambda I) =(2-lambda)l[(2-lambda)^2-1r]-1l[1cdot(2-lambda)-0r] =(2-lambda)l[(2-lambda)^2-2r]

Passo 3

As raízes desse polinômio são
2-lambda = 0 Longrightarrow lambda2 = 2
e
(2-lambda)^2 = 2 Longrightarrow lambda1,3 = 2pmraiz2

Passo 4

Para , resolvemos , isto é
Dessa forma e , de onde um autovetor é

Passo 5

Para , , resolvemos
Da primeira equação vem e da segunda . Um autovetor é

Passo 6

Para , , resolvemos
o que dá e . Um autovetor é

Passo 7

Colocando em coluna os autovetores v1,v2,v3, definimos
P = 1 & 1 & 1 raiz2 & 0 & -raiz2 1 & -1 & 1 , D = 2+raiz2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2-raiz2
Como v1,v2,v3 são linearmente independentes, P é invertível e
M = P,D,P^-1

Resposta

A diagonalização de M é
M = P,D,P^-1,
com
P = 1 & 1 & 1 raiz2 & 0 & -raiz2 1 & -1 & 1 , D = 2+raiz2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2-raiz2

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