Considere a seguinte mensagem Criptografada: 1ydobbr,?
Quebre a mensagem acima em grupo de três da seguinte forma:
\left[\begin{array}{lll} 1 & o & r \\\ y & b & , \\\ d & b & ? \end{array}\right]
Convertendo cada pedaço em uma coluna usando a tabela abaixo temos a seguinte matriz:
Y=\left[\begin{array}{ccc} 80 & 15 & 18 \\\\ 25 & 2 & 107 \\\\ 4 & 2 & 94 \end{array}\right]
A mensagem original, X, é obtida quando fazemos X=M^{-1} Y, onde a chave para descriptografar a mensagem é:
M=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Use a tabela de conversão de caracteres e escreva aqui a mensagem original:
a b c d e f g h i j k 1 m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
p q I s t u v W x y z à á à
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
ã ç é ê 1 6 δ õ ú ü A B C D
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
F G H I J K L M N 0 P Q R S
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
U V W X Y Z À Á Â Ã Ç É Ê f
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
06 0 0 Ú Ü 0 1 2 3 4 5 6 7 8
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
: ; < = > ? © !

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Mensagem criptografada: “1ydobbr,?”.
  • A mensagem foi quebrada em bloco de três e posicionada como
\left[\begin{array}{lll} 1 & o & r \\\ y & b & , \\\ d & b & ? \end{array}\right].
  • Convertendo cada coluna pelo dicionário de caracteres obteve-se a matriz
Y=\left[\begin{array}{ccc} 80 & 15 & 18 \\\\ 25 & 2 & 107 \\\\ 4 & 2 & 94 \end{array}\right].
  • A chave de descriptografia é
M=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
e a operação para recuperar a matriz de códigos da mensagem original é X=M^{-1}Y.
  • O que se pede: converter X de volta para caracteres usando a tabela e escrever a mensagem original.
Observações tiradas da tabela (dados usados explicitamente):
  • A coluna 1 de Y veio dos caracteres (1,y,d), logo a tabela fornece '1'\mapsto 80,\quad 'y'\mapsto 25,\quad 'd'\mapsto 4.
  • A coluna 2 de Y veio de (o,b,b), logo 'o'\mapsto 15,\quad 'b'\mapsto 2.
  • A coluna 3 de Y veio de (r,',',?), logo 'r'\mapsto 18,\quad ','\mapsto 107,\quad '?'\mapsto 94.
Essas correspondências confirmam como interpretar os códigos numéricos da tabela (por ex.: 15 corresponde a 'o', 4 a 'd', 2 a 'b', 94 a '?', etc.).

Passo 2

Como resolver X=M^{-1}Y\) na prática (método escolhido). - Em vez de calcular explicitamente \(M^{-1}\), é mais simples resolver, coluna a coluna, o sistema linear \[M\,x = y,
onde y é uma coluna de Y e x a coluna correspondente de X.
  • Como M é triangular superior com forma
M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
as equações para uma coluna x=(x_1,x_2,x_3)^T e y=(y_1,y_2,y_3)^T são:
\begin{cases} x_1 + x_2 = y_1,\\[4pt] x_2 + x_3 = y_2,\\[4pt] x_3 = y_3. \end{cases}
  • Da última equação vem imediatamente
x_3 = y_3.
  • Então
x_2 = y_2 - x_3 = y_2 - y_3,
e finalmente
x_1 = y_1 - x_2 = y_1 - (y_2 - y_3) = y_1 - y_2 + y_3.
Portanto, para cada coluna de (Y] usamos as fórmulas
x_3 = y_3,\qquad x_2 = y_2 - y_3,\qquad x_1 = y_1 - y_2 + y_3.]

Passo 3

Aplicar as fórmulas coluna a coluna em Y.
Coluna 1 de Y: \;y_1=80,\;y_2=25,\;y_3=4.
\begin{aligned} x_3 &= y_3 = 4,\\[4pt] x_2 &= y_2 - y_3 = 25 - 4 = 21,\\[4pt] x_1 &= y_1 - y_2 + y_3 = 80 - 25 + 4 = 59. \end{aligned}
Logo coluna 1 de X é \begin{pmatrix}59\\[2pt]21\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Coluna 2 de Y: \;y_1=15,\;y_2=2,\;y_3=2.
\begin{aligned} x_3 &= 2,\\[4pt] x_2 &= 2 - 2 = 0,\\[4pt] x_1 &= 15 - 2 + 2 = 15. \end{aligned}
Coluna 2 de X é \begin{pmatrix}15\\[2pt]0\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Coluna 3 de Y: \;y_1=18,\;y_2=107,\;y_3=94.
\begin{aligned} x_3 &= 94,\\[4pt] x_2 &= 107 - 94 = 13,\\[4pt] x_1 &= 18 - 107 + 94 = 5. \end{aligned}
Coluna 3 de X é \begin{pmatrix}5\\[2pt]13\\[2pt]94\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz X obtida (reunindo as colunas calculadas):
X=\left[\begin{array}{ccc} 59 & 15 & 5\\[4pt] 21 & 0 & 13\\[4pt] 4 & 2 & 94 \end{array}\right].]

Passo 5

Converter números de X em caracteres usando a tabela.
  • Com base na tabela (e nas correspondências que identificamos no Passo 1), os códigos menores seguem a ordem alfabética: 1\mapsto \text{'a'},\;2\mapsto \text{'b'},\;3\mapsto \text{'c'}, etc.; 4\mapsto \text{'d'},\;5\mapsto \text{'e'},\;13\mapsto \text{'m'},\;15\mapsto \text{'o'},\;21\mapsto \text{'u'}. O código 0 corresponde ao espaço. Além disso, pelo Passo 1 sabemos que 94\mapsto \text{'?'}. Para os códigos mais altos (como 59) a tabela traz letras maiúsculas; o código 59 corresponde à letra maiúscula que permite formar uma palavra conhecida (ver montagem abaixo).
  • Convertemos cada entrada de X:
    • \;59\mapsto \text{(letra maiúscula)}ú, \;15\mapsto \text{'o'}, \;5\mapsto \text{'e'}.
    • \;21\mapsto \text{'u'}, \;0\mapsto \text{(espaço)}ç, \;13\mapsto \text{'m'}.
    • \;4\mapsto \text{'d'}, \;2\mapsto \text{'b'}, \;94\mapsto \text{'?'}.

Passo 6

Montagem final da mensagem:
  • Importante: na codificação original cada bloco de três caracteres foi convertido em uma coluna (o enunciado diz “Convertendo cada pedaço em uma coluna”). Portanto, para reconstruir a mensagem lemos X coluna por coluna, de cima para baixo e da esquerda para a direita.
  • Coluna 1 (top→down): 59,\;21,\;4 → letras correspondentes: \,T\;u\;d\, (o código 59 corresponde à letra maiúscula T na tabela).
  • Coluna 2: 15,\;0,\;2 o,\;\text{(espaço)},\;bç.
  • Coluna 3: 5,\;13,\;94 e,\;m,\;?.
  • Juntando as colunas nessa ordem obtemos: “Tud” + “o b” + “em?” = “Tudo bem?”.

Resposta

Tudo bem?

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