Estude com relação a máximos e mínimos locais as funções
f(x, y)=x^{3}-y^{2}+x y+5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: estudar, em relação a máximos e mínimos locais, a função \;f(x,y)=x^{3}-y^{2}+x y+5\;. Ou seja: encontrar os pontos críticos (onde a derivada parcial é zero) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
  • Informações dadas: a expressão da função \;f(x,y)=x^{3}-y^{2}+x y+5\;. Não há restrição de domínio explícita, então consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados devagar e sem jargão).
  • Gradiente: Para funções de duas variáveis, as derivadas parciais indicam a inclinação na direção de cada eixo. O vetor formado por elas é o gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Pontos críticos são pontos onde \nabla f(x,y)=(0,0): ali não existe variação primeira, então pode ser máximo, mínimo ou sela.
  • Hessiana e teste das segundas derivadas: definimos as derivadas segundas
f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\quad f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
Formamos o determinante da Hessiana (também chamado de discriminante)
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
Regra de classificação (segundo teste de segunda derivada para duas variáveis):
  • Se \;D>0 e \;f_{xx}>0 no ponto crítico, então é mínimo local.
  • Se \;D>0 e \;f_{xx}<0 no ponto crítico, então é máximo local.
  • Se \;D<0, é ponto de sela.
  • Se \;D=0, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar exatamente esse procedimento: calcular as derivadas primeiras, achar os pontos críticos, depois calcular as segundas derivadas e usar o valor de D para classificar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente) passo a passo.
A função é \;f(x,y)=x^{3}-y^{2}+x y+5.
  • Derivada parcial em relação a x: derivando termo a termo,
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2},
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0 (porque y é tratado como constante),
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y,
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(5)=0.
      Portanto
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+y.
  • Derivada parcial em relação a y: derivando termo a termo,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(5)=0.
      Portanto
    \dfrac{\partial f}{\partial y}=-2y+x.
Resumindo o gradiente:
\nabla f(x,y)=\big(3x^{2}+y,\; -2y+x\big).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo [\nabla f(x,y)=(0,0)).
Temos o sistema
\begin{cases} 3x^{2}+y=0,\\[4pt] -2y+x=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da segunda equação (-2y+x=0] obtemos
    y=\dfrac{x}{2}.
  • Substituir na primeira equação 3x^{2}+y=0:
    3x^{2}+\dfrac{x}{2}=0.
    Colocar em forma fatorada: multiplicar por 2 para eliminar denominador,
    6x^{2}+x=0.
    Fatorando x,
    x(6x+1)=0.
    Logo as soluções para x são
    x=0\quad\text{ou}\quad 6x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}.
  • Para cada x calculamos y=\dfrac{x}{2}:
    • Se x=0, então y=0. Ponto crítico \,(0,0).
    • Se x=-\dfrac{1}{6}, então y=\dfrac{-1/6}{2}=-\dfrac{1}{12}.Ponto crítico \,\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right).
Concluímos que existem exatamente dois pontos críticos: \;(0,0) e \;\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right).]

Passo 5

Calcular as derivadas segundas (Hessiana) e o discriminante D.
Derivadas segundas a partir das derivadas primeiras:
  • Já tínhamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+y. Derivando novamente: f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+y)=6x.
f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+y)=1.
  • Da segunda primeira \dfrac{\partial f}{\partial y}=-2y+x. Derivando novamente: f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-2y+x)=-2.
f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-2y+x)=1,
consistente com f_{xy}=f_{yx}.
Então a matriz Hessiana simbólica é
H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6x & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
O discriminante é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}=(6x)(-2)-1^{2}=-12x-1.]

Passo 6

Classificação no ponto (0,0).
  • Avaliar derivadas segundas em (0,0): f_{xx}(0,0)=6\cdot 0=0,\quad f_{xy}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=-2.
  • Discriminante em (0,0): D(0,0)=-12\cdot 0-1=-1.
  • Como D(0,0)=-1<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto é um ponto de sela.
Comentário intuitivo: D<0 significa que a forma quadrática das segundas derivadas tem sinais opostos em direções diferentes — a função sobe em algumas direções e desce em outras — característica de sela.

Passo 7

Classificação no ponto \left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right).
  • Avaliar f_{xx} e D no ponto. Primeiro f_{xx}\!\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right)=6\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)=-1.
  • Discriminante D\!\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right)=-12\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)-1=2-1=1.
  • Aqui D=1>0 e f_{xx}=-1<0. Pela regra, quando D>0 e f_{xx}<0 o ponto é um máximo local. Portanto \left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right) é um máximo local.

Passo 8

Calcular os valores da função nos pontos críticos (útil para ver o valor do máximo).
  • Em (0,0):
    f(0,0)=0^{3}-0^{2}+0\cdot 0+5=5.
  • Em \left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right) calcular com cuidado frações:
    x=-\dfrac{1}{6},\quad y=-\dfrac{1}{12}.
    Calcule termos:
    x^{3}=-\dfrac{1}{6^{3}}=-\dfrac{1}{216},
-y^{2}=-\left(-\dfrac{1}{12}\right)^{2}=-\dfrac{1}{144},
x y=\left(-\dfrac{1}{6}\right)\left(-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{1}{72}.
Somando:
f\!\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right)=-\dfrac{1}{216}-\dfrac{1}{144}+\dfrac{1}{72}+5.
Encontrar denominador comum 432:
-\dfrac{1}{216}=-\dfrac{2}{432},\quad -\dfrac{1}{144}=-\dfrac{3}{432},\quad \dfrac{1}{72}=\dfrac{6}{432}.
Soma dos três termos fracionários:
-\dfrac{2}{432}-\dfrac{3}{432}+\dfrac{6}{432}=\dfrac{1}{432}.
Portanto
f\!\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right)=5+\dfrac{1}{432}=\dfrac{2161}{432}\approx 5{,}0023148\ldots
Observação: esse máximo local tem valor ligeiramente maior que 5.

Resposta

\,(0,0): ponto de sela, \;f(0,0)=5.
\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right): máximo local, \;f\!\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{2161}{432}\approx 5{,}0023148.

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