Estude com relação a máximos e mínimos locais as funções
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se: estudar, em relação a máximos e mínimos locais, a função
. Ou seja: encontrar os pontos críticos (onde a derivada parcial é zero) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. - Informações dadas: a expressão da função
. Não há restrição de domínio explícita, então consideramos .
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados devagar e sem jargão).
- Gradiente: Para funções de duas variáveis, as derivadas parciais indicam a inclinação na direção de cada eixo. O vetor formado por elas é o gradiente:
Pontos críticos são pontos onde
: ali não existe variação primeira, então pode ser máximo, mínimo ou sela.
- Hessiana e teste das segundas derivadas: definimos as derivadas segundas
Formamos o determinante da Hessiana (também chamado de discriminante)
Regra de classificação (segundo teste de segunda derivada para duas variáveis):
- Se
e no ponto crítico, então é mínimo local. - Se
e no ponto crítico, então é máximo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar exatamente esse procedimento: calcular as derivadas primeiras, achar os pontos críticos, depois calcular as segundas derivadas e usar o valor de
para classificar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente) passo a passo.
A função é
.
-
Derivada parcial em relação a
: derivando termo a termo, -
, -
(porque é tratado como constante), -
, -
.
Portanto
-
-
Derivada parcial em relação a
: derivando termo a termo, -
, -
, -
, -
.
Portanto
-
Resumindo o gradiente:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo [\nabla f(x,y)=(0,0)).
Temos o sistema
Resolver passo a passo:
-
Da segunda equação (-2y+x=0] obtemos
-
Substituir na primeira equação
: Colocar em forma fatorada: multiplicar porpara eliminar denominador, Fatorando, Logo as soluções parasão -
Para cada
calculamos : - Se
, então . Ponto crítico . - Se
, então Ponto crítico .
- Se
Concluímos que existem exatamente dois pontos críticos:
e
.]
Passo 5
Calcular as derivadas segundas (Hessiana) e o discriminante
.
Derivadas segundas a partir das derivadas primeiras:
- Já tínhamos
. Derivando novamente:
- Da segunda primeira
. Derivando novamente:
consistente com
.
Então a matriz Hessiana simbólica é
O discriminante é
Passo 6
Classificação no ponto
.
- Avaliar derivadas segundas em
: - Discriminante em
: - Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto é um ponto de sela.
Comentário intuitivo:
significa que a forma quadrática das segundas derivadas tem sinais opostos em direções diferentes — a função sobe em algumas direções e desce em outras — característica de sela.
Passo 7
Classificação no ponto
.
- Avaliar
e no ponto. Primeiro - Discriminante
- Aqui
e . Pela regra, quando e o ponto é um máximo local. Portanto é um máximo local.
Passo 8
Calcular os valores da função nos pontos críticos (útil para ver o valor do máximo).
-
Em
: -
Em
calcular com cuidado frações: Calcule termos:
Somando:
Encontrar denominador comum
:
Soma dos três termos fracionários:
Portanto
Observação: esse máximo local tem valor ligeiramente maior que
.