Explique por que toda função polinomial é contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função polinomial é contínua em \mathbb{R}. O conteúdo principal aqui é a noção de continuidade para funções reais e as propriedades de fechamento de funções contínuas sob operações algébricas (soma, produto e multiplicação por constante).

Passo 2

Definimos que uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em a\in\mathbb{R} se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Sabemos que as funções elementares abaixo são contínuas em todo \mathbb{R}:
– A função constante x\mapsto c, c\in\mathbb{R}.
– A função identidade x\mapsto x.

Passo 3

Usamos que as operações algébricas preservam continuidade: se f e g são contínuas em a, então
f+g é contínua em a.
f\cdot g é contínua em a.
– Para qualquer constante c, a função c\cdot f é contínua em a.

Passo 4

Mostramos por indução que o monômio m_n(x)=x^n é contínuo em todo x\in\mathbb{R}:
– Caso base n=0: x^0=1 é contínuo (é função constante).
– Passo indutivo: suponha x^{k-1} contínuo; como x\mapsto x é contínua, o produto
x^k = x\cdot x^{k-1}
é contínuo por fecho ao produto.

Passo 5

Um polinômio genérico de grau n é dado por
f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\,x^i,
onde cada coeficiente a_i é constante e cada monômio x^i é contínuo. Logo, a_i\,x^i é contínuo (produto de contínuas) e a soma finita
\sum_{i=0}^n a_i\,x^i é contínua (soma de contínuas).

Resposta

Toda função polinomial f(x)=\sum_{i=0}^n a_i\,x^i é contínua em \mathbb{R}.

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