Explique por que toda função polinomial é contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função polinomial é contínua em
. O conteúdo principal aqui é a noção de continuidade para funções reais e as propriedades de fechamento de funções contínuas sob operações algébricas (soma, produto e multiplicação por constante).
Passo 2
Definimos que uma função
é contínua em
se
Sabemos que as funções elementares abaixo são contínuas em todo
:
– A função constante ,
.
– A função identidade .
– A função constante
– A função identidade
Passo 3
Usamos que as operações algébricas preservam continuidade: se
e
são contínuas em
, então
– é contínua em
.
– é contínua em
.
– Para qualquer constante , a função
é contínua em
.
–
–
– Para qualquer constante
Passo 4
Mostramos por indução que o monômio
é contínuo em todo
:
– Caso base :
é contínuo (é função constante).
– Passo indutivo: suponha contínuo; como
é contínua, o produto
– Caso base
– Passo indutivo: suponha
é contínuo por fecho ao produto.
Passo 5
Um polinômio genérico de grau
é dado por
onde cada coeficiente
é constante e cada monômio
é contínuo. Logo,
é contínuo (produto de contínuas) e a soma finita
é contínua (soma de contínuas).
Resposta
Toda função polinomial
é contínua em
.