Verifique se a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
e pede para ver se ela é contínua em x=1. O conteúdo usado será definição de domínio, limite e continuidade de função em um ponto.

Passo 2

Analisamos o domínio de f. A expressão
\frac{x^{2}-1}{x-1}
não está definida em x=1 (denominador zero), então 1\notin\dom(f). Para haver continuidade em x=1 seria necessário que f(1) existisse e igualasse o limite de f(x) quando x\to1.

Passo 3

Para calcular o limite, fatoramos o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo, para x\neq1,
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1
e
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}(x+1)=2.

Passo 4

Concluímos que \lim_{x\to1}f(x)=2, mas f(1) não existe. Portanto a condição de continuidade em x=1 (existência de f(1) e igualdade com o limite) não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em x=1 (há uma descontinuidade removível, pois o limite existe e vale 2, mas f(1) não está definido).

Exercícios relacionados