Considere o seguinte modelo populacional:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d P}{d t}=\frac{3}{7} P-15 \\\ P(0)=P_{0} \end{array}\right.
Quais são todos os valores de P_{0} para os quais este modelo prediz que a população será extinta?
a) P_{0}<35
b) P_{0} \leqslant 35
c) P_{0}<10
d) P_{0}<34
e) P_{0}=35

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo populacional
\frac{dP}{dt} = \frac{3}{7}\,P - 15, \quad P(0)=P_{0},
e pergunta para quais valores de P_{0} a população chega a zero (extinção) em algum tempo t>0. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 1º ordem com termo constante.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, encontramos a solução estacionária (particular constante) impondo
\frac{3}{7}P - 15 = 0
o que dá
P_{\mathrm{eq}} = \frac{15\cdot 7}{3} = 35.
A solução geral é soma da homogênea com essa particular:
P(t) = A \exp\!\Bigl(\tfrac{3t}{7}\Bigr) + 35.
Aplicando a condição inicial P(0)=P_{0} obtemos A = P_{0}-35. Logo
P(t) = \bigl(P_{0}-35\bigr)\exp\!\Bigl(\tfrac{3t}{7}\Bigr) + 35.

Passo 3

Para haver extinção existe um tempo t^*>0 tal que P(t^*)=0. Igualando a zero,
\bigl(P_{0}-35\bigr)\exp\!\Bigl(\tfrac{3t^*}{7}\Bigr) + 35 = 0
só tem solução real t^* se P_{0}-35<0, isto é, P_{0}<35. Nesse caso
t^* = \frac{7}{3}\ln\!\Bigl(\frac{35}{35-P_{0}}\Bigr)
é finito e positivo, e a população se anula. Se P_{0}\ge35, ou a população fica constante em 35 (se P_{0}=35) ou cresce indefinidamente (se P_{0}>35), sem extinção.

Resposta

a) P_{0}<35

Exercícios relacionados