Considere o seguinte modelo populacional:
Quais são todos os valores de
para os quais este modelo prediz que a população será extinta?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo populacional
e pergunta para quais valores de
a população chega a zero (extinção) em algum tempo
. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 1º ordem com termo constante.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, encontramos a solução estacionária (particular constante) impondo
o que dá
A solução geral é soma da homogênea com essa particular:
Aplicando a condição inicial
obtemos
. Logo
Passo 3
Para haver extinção existe um tempo
tal que
. Igualando a zero,
só tem solução real
se
, isto é,
. Nesse caso
é finito e positivo, e a população se anula. Se
, ou a população fica constante em
(se
) ou cresce indefinidamente (se
), sem extinção.
Resposta
a)