Determine a solução do seguinte problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial de primeira ordem não separável à primeira vista. Vamos transformá-la numa forma diferencial exata usando um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
de modo que
Verificamos que
logo não é exata, mas
é função apenas de
. Isso sugere um fator integrante
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Multiplicamos toda a equação diferencial por
, obtendo
Agora esta forma é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Então
implica
, logo
. Assim
é constante ao longo das soluções.
Passo 5
A condição inicial
dá
portanto a constante vale
. A solução implícita fica
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por