Determine a solução do seguinte problema de valor inicial a seguir:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=-\frac{y^{2} \cos x}{4+5 y \operatorname{sen} x} \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y^{2}\cos x}{4 + 5y\sin x},\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial de primeira ordem não separável à primeira vista. Vamos transformá-la numa forma diferencial exata usando um fator integrante que dependa só de y.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
(4 + 5y\sin x)\,dy + y^{2}\cos x\,dx = 0,
de modo que
M(x,y) = y^{2}\cos x, \quad N(x,y) = 4 + 5y\sin x.
Verificamos que
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y\cos x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 5y\cos x,
logo não é exata, mas
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{5y\cos x - 2y\cos x}{y^{2}\cos x} = \frac{3}{y}
é função apenas de y. Isso sugere um fator integrante \mu(y).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int \frac{3}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(3\ln|y|\bigr) = y^{3}.
Multiplicamos toda a equação diferencial por y^{3}, obtendo
y^{3}y^{2}\cos x\,dx + y^{3}(4 + 5y\sin x)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{5}\cos x\,dx + \bigl(4y^{3}+5y^{4}\sin x\bigr)\,dy = 0.
Agora esta forma é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = y^{5}\cos x, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = 4y^{3} + 5y^{4}\sin x.
Integramos \partial \Phi/\partial x em relação a x:
\Phi(x,y) = y^{5}\sin x + h(y).
Então
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 5y^{4}\sin x + h'(y) \stackrel{!}{=}4y^{3} +5y^{4}\sin x
implica h'(y)=4y^{3}, logo h(y)=y^{4}. Assim
\Phi(x,y)=y^{5}\sin x + y^{4}
é constante ao longo das soluções.

Passo 5

A condição inicial y(0)=1
\Phi(0,1) = 1^{5}\sin0 + 1^{4} = 1,
portanto a constante vale 1. A solução implícita fica
y^{5}\sin x + y^{4} = 1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
\boxed{y^{5}\sin x + y^{4} = 1.}

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