Resolva o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{y}{x}+x y^{3} \\\ y(1)=1 \end{array}\right.
e determine o intervalo de definição da solução (note que, da equação diferencial, a derivada y^{\prime} já não existe para alguns valores de x ).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Bernoulli
y' = \frac{y}{x} + x\,y^3,\qquad y(1)=1
e o intervalo em que ela existe. Vamos reconhecer que é uma equação de Bernoulli com n=3, aplicar a transformação adequada e depois determinar onde a solução faz sentido (isto é, onde não ocorre divisão por zero nem raiz de número negativo).

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão
y' - \frac{1}{x}\,y = x\,y^3,
vemos que P(x)=-\frac1x e Q(x)=x. Para uma Bernoulli de expoente n usamos a mudança
z = y^{1-n} = y^{-2}.
Então calculamos z' em função de y e y'.

Passo 3

Como z = y^{-2} temos
z' = -2\,y^{-3}\,y'.
Substituindo y' = \tfrac{y}{x}+x\,y^3 vem
z' = -2\Bigl(\frac{y}{x}+x\,y^3\Bigr)y^{-3} = -2\Bigl(\frac{y^{-2}}{x} + x\Bigr) = -\frac{2}{x}\,z \;-\;2\,x.
Logo a equação para z é linear:
z' + \frac{2}{x}\,z = -2\,x.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^2.
Multiplicando a equação por x^2 obtém-se
(x^2\,z)' = -2\,x^3.
Integrando em x:
x^2\,z = \int -2\,x^3\,dx = -\tfrac12\,x^4 + C,
ou seja
z = C\,x^{-2} - \tfrac12\,x^2.

Passo 5

Voltando a y, lembramos que z=y^{-2}, então
y^{-2} = C\,x^{-2} - \tfrac12\,x^2.
Impondo y(1)=1
1^{-2} = C\cdot1^{-2} - \tfrac12\cdot1^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 = C - \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac32.

Passo 6

Substituindo C=\tfrac32 fica
y^{-2} = \frac{3}{2\,x^2} \;-\;\frac{x^2}{2} = \frac{3 - x^4}{2\,x^2}.
Invertemos e escolhemos o sinal positivo (pois y(1)=1>0):
y^2 = \frac{2\,x^2}{3 - x^4},
y(x) = x \,\sqrt{\frac{2}{3 - x^4}}.

Passo 7

Para essa expressão existir precisamos de
  1. x\neq0 (a ODE original tem y/x),
  2. 3 - x^4>0 para não termos raiz de número negativo.
    A condição 3 - x^4>0 equivale a |x|<3^{1/4}.
    Como nosso ponto inicial é x=1, a solução está definida em
0 < x < 3^{1/4}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = x \,\sqrt{\frac{2}{3 - x^4}},
definida no intervalo
(0,\;3^{1/4}).

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