Resolva o problema de valor inicial:
e determine o intervalo de definição da solução (note que, da equação diferencial, a derivada
já não existe para alguns valores de
).
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Bernoulli
e o intervalo em que ela existe. Vamos reconhecer que é uma equação de Bernoulli com
, aplicar a transformação adequada e depois determinar onde a solução faz sentido (isto é, onde não ocorre divisão por zero nem raiz de número negativo).
Passo 2
Reescrevendo no formato padrão
vemos que
e
. Para uma Bernoulli de expoente
usamos a mudança
Então calculamos
em função de
e
.
Passo 3
Como
temos
Substituindo
vem
Logo a equação para
é linear:
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtém-se
Integrando em
:
ou seja
Passo 5
Voltando a
, lembramos que
, então
Impondo
dá
Passo 6
Substituindo
fica
Invertemos e escolhemos o sinal positivo (pois
):
Passo 7
Para essa expressão existir precisamos de
-
(a ODE original tem ), -
para não termos raiz de número negativo.
A condiçãoequivale a .
Como nosso ponto inicial é, a solução está definida em
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
definida no intervalo