Considere a seguinte operação * definida sobre o conjunto dos números reais:
. Verifique se * é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
Vamos usar os conceitos de operação binária:
– Comutatividade: verificar se .
– Associatividade: comparar com
.
– Elemento neutro: encontrar tal que
e
para todo
.
– Comutatividade: verificar se
– Associatividade: comparar
– Elemento neutro: encontrar
Passo 2
Para testar comutatividade, calculamos
e
Como a multiplicação real é comutativa (
), temos
logo
para todo
. Portanto, * é comutativa.
Passo 3
Para testar associatividade, fazemos:
Como os dois resultados coincidem, temos
para todo
. Então * é associativa.
Passo 4
Procuramos
tal que, para todo
,
Como é comutativa basta ver
Para
isso exige
, ou seja
. Para
qualquer
satisfaz, mas o mesmo
deve valer para todo
, então o único candidato é
Resposta
Comutativa: Sim.
Associativa: Sim.
Elemento neutro: .
Associativa: Sim.
Elemento neutro: