Considere a seguinte operação * definida sobre o conjunto dos números reais: x * y=2 x cdot y. Verifique se * é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define em R a operação
x * y = 2,x,y
Vamos usar os conceitos de operação binária:
Comutatividade: verificar se x*y = y*x.
Associatividade: comparar (x*y)*z com x*(y*z).
Elemento neutro: encontrar einR tal que e*x = x e x*e = x para todo x.

Passo 2

Para testar comutatividade, calculamos
x * y = 2,x,y
e
y * x = 2,y,x
Como a multiplicação real é comutativa ( x,y = y,x), temos
2,x,y = 2,y,x,
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x * y = y * x
para todo x,y. Portanto, * é comutativa.

Passo 3

Para testar associatividade, fazemos:
(x*y)*z = 2,(x*y),z = 2,(2,x,y),z = 4,x,y,z,
x*(y*z) = 2,x,(y*z) = 2,x,(2,y,z) = 4,x,y,z
Como os dois resultados coincidem, temos
(x*y)*z = x*(y*z)
para todo x,y,z. Então * é associativa.

Passo 4

Procuramos e tal que, para todo x,
e * x = x e x * e = x
Como é comutativa basta ver
e * x = 2,e,x = x
Para xneq0 isso exige 2e = 1, ou seja e = tfrac12. Para x=0 qualquer e satisfaz, mas o mesmo e deve valer para todo x, então o único candidato é
e = tfrac12

Resposta

Comutativa: Sim.
Associativa: Sim.
Elemento neutro: tfrac12.

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