Considere o seguinte P.V.I.:
l d yd x=y-2 x2 y-x y(0)=3
(a) Mostre que a equação diferencial acima é equivalente a uma equação exata.
(b) Encontre uma solução para o problema acima fornecendo o intervalo máximo de definição.

Passo 1

O enunciado dá um P.V.I. de primeira ordem
dydx=y-2x2y-x, y(0)=3
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos primeiro reescrever essa ODE na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
mostrar que ela é exata, depois achar a função potencial e finalmente usar a condição inicial para obter a solução e seu intervalo máximo.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da ODE por 2y-x para obter
(2y-x),dy-(y-2x),dx=0
Daí identificamos
M(x,y)=-(y-2x)=-y+2x, N(x,y)=2y-x
Calculamos
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=-1,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M=-y+2x, psiy=N=2y-x
Integramos psix em x:
psi(x,y)=integral(-y+2x),dx=-xy+x^2+h(y)
Derivando em y e igualando a N:
psiy=-x+h'(y)=2y-x Longrightarrow h'(y)=2y Longrightarrow h(y)=y^2
Portanto
psi(x,y)=x^2 -x,y +y^2 =C

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=3 na relação implícita
psi(0,3)=0^2-0cdot3+3^2=9,
temos C=9. Logo a solução implícita é
x^2 -x,y +y^2=9

Passo 5

Para obter y explicitamente, escrevemos
y^2 - x,y + x^2 - 9 = 0
e aplicamos a fórmula de Bhaskara em y:
y = x pm raizx^2 - 4(x^2 - 9)2 = x pm raiz36 - 3x^22
Como y(0) = 3 > 0, escolhemos o sinal +. Para a expressão ficar real precisamos
36 - 3x^2 >= 0 Longrightarrow |x| <= 2raiz3
Além disso, dentro desse intervalo aberto o denominador da ODE 2y - x = raiz36 - 3x^2 não zera. Assim o intervalo máximo contendo x = 0 é
(-2raiz3,; 2raiz3)

Resposta

y(x)=x+raiz36-3x^22, xin(-2raiz3,,2raiz3)

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