Considere o seguinte P.V.I.:
(a) Mostre que a equação diferencial acima é equivalente a uma equação exata.
(b) Encontre uma solução para o problema acima fornecendo o intervalo máximo de definição.
(b) Encontre uma solução para o problema acima fornecendo o intervalo máximo de definição.
Passo 1
O enunciado dá um P.V.I. de primeira ordem
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos primeiro reescrever essa ODE na forma
mostrar que ela é exata, depois achar a função potencial e finalmente usar a condição inicial para obter a solução e seu intervalo máximo.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados da ODE por
para obter
Daí identificamos
Calculamos
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Portanto
Passo 4
Usando a condição inicial
na relação implícita
temos
. Logo a solução implícita é
Passo 5
Para obter
explicitamente, escrevemos
e aplicamos a fórmula de Bhaskara em
:
Como
, escolhemos o sinal
. Para a expressão ficar real precisamos
Além disso, dentro desse intervalo aberto o denominador da ODE
não zera. Assim o intervalo máximo contendo
é