Seja
a sequência definida pela relação de recorrência:
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Então, temos uma sequência definida pela relação de recorrência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. Vamos verificar se essa sequência converge ou diverge, e se convergir, encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
converge para um limite
. Isso significa que, conforme
fica grande,
e
se aproximam de
.
Passo 3
Se a sequência converge para
, então substituímos
e
por
na relação de recorrência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 5
Em seguida, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 6
Portanto, o limite
é 6. Isso significa que a sequência
converge, e o limite é 6.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.