Seja an a sequência definida pela relação de recorrência:
a1=2, an+1=an+62, n=1,2,3, ldots
Determine se a sequência an converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Então, temos uma sequência definida pela relação de recorrência onde o primeiro termo é a1 = 2 e cada termo seguinte é dado por an+1 = an + 62 . Vamos verificar se essa sequência converge ou diverge, e se convergir, encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência an converge para um limite L . Isso significa que, conforme n fica grande, an e an+1 se aproximam de L .

Passo 3

Se a sequência converge para L , então substituímos an e an+1 por L na relação de recorrência:
L = L + 62

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar L . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2L = L + 6

Passo 5

Em seguida, subtraímos L de ambos os lados:
2L - L = 6
L = 6

Passo 6

Portanto, o limite L é 6. Isso significa que a sequência an converge, e o limite é 6.

Resposta

A sequência an converge e o seu limite é 6 .

Exercícios relacionados