Considere o seguinte problema de valor inicial
(a) Mostre que
é também uma solução definida para todo (t \in \mathbb{R}].
(d) Mostre que a existência de mais do que uma solução não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre soluções de um problema de valor inicial (P.V.I) envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação y' = y^1/3 com a condição inicial y(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar soluções de equações separáveis e entender o que significa ter múltiplas soluções para um mesmo P.V.I.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que y(t) = 0 é uma solução do P.V.I. para todo t in R .
Vamos verificar se y(t) = 0 satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  1. Verificar a equação diferencial:
    • Derivando y(t) = 0 , temos y'(t) = 0 .
    • Substituindo na equação y' = y^1/3 :
0 = 0^1/3 implies 0 = 0
  • A equação é satisfeita.
  1. Verificar a condição inicial:
    • y(0) = 0 , que é exatamente a condição dada.
Portanto, y(t) = 0 é, de fato, uma solução do P.V.I. para todo t in R .

Passo 3

Parte (b): Resolver a equação como uma equação separável para obter que y(t) = (23 t)^3/2 também é solução definida para t >= 0 .
Vamos resolver a equação diferencial y' = y^1/3 usando o método de separação de variáveis.
  1. Separar as variáveis:
dydt = y^1/3 implies dyy^1/3 = dt
  1. Integrar ambos os lados:
integral y^-1/3 , dy = integral dt
  • A integral de y^-1/3 em relação a y é:
32 y^2/3 + C = t + C
  • Podemos simplificar e resolver para y :
y^2/3 = 23(t + C)
y = (23(t + C))^3/2
  1. Aplicar a condição inicial y(0) = 0 :
0 = (23(0 + C))^3/2 implies C = 0
  • Portanto, a solução é:
y(t) = (23 t)^3/2
  • Essa solução é válida para t >= 0 porque a expressão dentro da raiz deve ser não negativa.

Passo 4

Parte (c): Mostrar que a função [\varphi(t)) definida por
é também uma solução definida para todo (t \in \mathbb{R}].
Vamos verificar se satisfaz a equação diferencial em todos os intervalos.
  1. Para :
    • Derivando,
    • Substituindo na equação :
  • A equação é satisfeita.
  1. Para :
    • , que já vimos ser uma solução para .
  2. No ponto :
    • A função é contínua e a derivada à esquerda é , que coincide com a derivada à direita no limite :
  • Portanto, a derivada também está bem definida em .
Assim, satisfaz a equação diferencial para todo .

Passo 5

Parte (d): Mostrar que a existência de mais do que uma solução não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções.
O Teorema de Existência e Unicidade (como o Teorema de Picard-Lindelöf) garante que, sob certas condições (como a função ser contínua e satisfazer a condição de Lipschitz), existe uma única solução para o P.V.I.
No nosso caso, a função f(y) = y^1/3 :
  1. É contínua em todo R .
  2. Não satisfaz a condição de Lipschitz em y = 0 :
    • A derivada de f(y) é f'(y) = 13 y^-2/3 , que não é limitada quando y se aproxima de 0.
    • Isso significa que pequenas variações em y podem causar grandes variações em f(y) , violando a condição de Lipschitz.
Devido à falta da condição de Lipschitz, o teorema não assegura a unicidade da solução. Por isso, é possível ter múltiplas soluções que passam pelo mesmo ponto inicial, como vimos nas partes anteriores.

Resposta

Resumindo:
a) y(t) = 0 satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para todo t in R .
b) A solução y(t) = (23 t)^3/2 resolve a equação para t >= 0 .
c) A função varphi(t) , definida como zero para t <= 0 e (23 t)^3/2 para t > 0 , também é uma solução válida para todo t in R .
d) A presença de múltiplas soluções não contraria o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade (como a condição de Lipschitz) não são satisfeitas neste caso.

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