Considere o seguinte problema de valor inicial
(a) Mostre que
é também uma solução definida para todo (t \in \mathbb{R}].
(d) Mostre que a existência de mais do que uma solução não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções.
(d) Mostre que a existência de mais do que uma solução não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre soluções de um problema de valor inicial (P.V.I) envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar soluções de equações separáveis e entender o que significa ter múltiplas soluções para um mesmo P.V.I.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
é uma solução do P.V.I. para todo
.
Vamos verificar se
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
- Verificar a equação diferencial:
- Derivando
, temos . - Substituindo na equação
:
- Derivando
- A equação é satisfeita.
- Verificar a condição inicial:
-
, que é exatamente a condição dada.
-
Portanto,
é, de fato, uma solução do P.V.I. para todo
.
Passo 3
Parte (b): Resolver a equação como uma equação separável para obter que
também é solução definida para
.
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis.
- Separar as variáveis:
- Integrar ambos os lados:
- A integral de
em relação a é:
- Podemos simplificar e resolver para
:
- Aplicar a condição inicial
:
- Portanto, a solução é:
- Essa solução é válida para
porque a expressão dentro da raiz deve ser não negativa.
Passo 4
Parte (c): Mostrar que a função [\varphi(t)) definida por
é também uma solução definida para todo (t \in \mathbb{R}].
Vamos verificar se
satisfaz a equação diferencial em todos os intervalos.
- Para
: -
- Derivando,
- Substituindo na equação
:
-
- A equação é satisfeita.
-
Para
: -
, que já vimos ser uma solução para .
-
-
No ponto
: - A função é contínua e a derivada à esquerda é
, que coincide com a derivada à direita no limite :
- A função é contínua e a derivada à esquerda é
- Portanto, a derivada também está bem definida em
.
Assim,
satisfaz a equação diferencial para todo
.
Passo 5
Parte (d): Mostrar que a existência de mais do que uma solução não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções.
O Teorema de Existência e Unicidade (como o Teorema de Picard-Lindelöf) garante que, sob certas condições (como a função ser contínua e satisfazer a condição de Lipschitz), existe uma única solução para o P.V.I.
No nosso caso, a função
:
-
É contínua em todo
. -
Não satisfaz a condição de Lipschitz em
: - A derivada de
é , que não é limitada quando se aproxima de 0. - Isso significa que pequenas variações em
podem causar grandes variações em , violando a condição de Lipschitz.
- A derivada de
Devido à falta da condição de Lipschitz, o teorema não assegura a unicidade da solução. Por isso, é possível ter múltiplas soluções que passam pelo mesmo ponto inicial, como vimos nas partes anteriores.
Resposta
Resumindo:
a)
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para todo
.
b) A solução
resolve a equação para
.
c) A função
, definida como zero para
e
para
, também é uma solução válida para todo
.
d) A presença de múltiplas soluções não contraria o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade (como a condição de Lipschitz) não são satisfeitas neste caso.