Determine o domínio e represente graficamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função
e representar seu gráfico. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e precisaremos entender onde essa função está definida para encontrar seu domínio. Além disso, vamos precisar desenhar o gráfico dessa função no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. No caso de uma função racional, como a nossa, isso significa que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos identificar o denominador da nossa função:
. Para que a função esteja definida, esse denominador não pode ser igual a zero. Então, precisamos encontrar os valores de
e
que não satisfazem a equação
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para entender quais pontos devem ser excluídos do domínio:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
. Isso significa que todos os pontos dentro e na circunferência desse círculo fazem com que o denominador seja zero.
Passo 5
Então, o domínio da função
é todos os pares
que não estão no círculo
. Em outras palavras, o domínio é o conjunto de todos os pontos no plano
exceto os que estão na circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 6
Agora, para representar graficamente, vamos esboçar o conjunto de todos os pontos
no plano
excluindo o círculo
. Isso significa que o gráfico do domínio será todo o plano menos a circunferência mencionada.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
no plano
tais que
. Graficamente, isso corresponde a todo o plano menos a circunferência de raio
centrada na origem.