Determine o domínio e represente graficamente
f(x, y)=3+5 xx^2+y^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função f(x, y) = 3 + 5xx^2 + y^2 - 4 e representar seu gráfico. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e precisaremos entender onde essa função está definida para encontrar seu domínio. Além disso, vamos precisar desenhar o gráfico dessa função no plano xy .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares (x, y)) para os quais a função está definida. No caso de uma função racional, como a nossa, isso significa que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos identificar o denominador da nossa função: x^2 + y^2 - 4 . Para que a função esteja definida, esse denominador não pode ser igual a zero. Então, precisamos encontrar os valores de x e y que não satisfazem a equação x^2 + y^2 - 4 = 0 .

Passo 4

Vamos resolver a equação x^2 + y^2 - 4 = 0 para entender quais pontos devem ser excluídos do domínio:
x^2 + y^2 = 4
Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0, 0) e raio 2 . Isso significa que todos os pontos dentro e na circunferência desse círculo fazem com que o denominador seja zero.

Passo 5

Então, o domínio da função f(x, y) é todos os pares (x, y) que não estão no círculo x^2 + y^2 = 4 . Em outras palavras, o domínio é o conjunto de todos os pontos no plano xy exceto os que estão na circunferência de raio 2 centrada na origem.

Passo 6

Agora, para representar graficamente, vamos esboçar o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy excluindo o círculo x^2 + y^2 = 4 . Isso significa que o gráfico do domínio será todo o plano menos a circunferência mencionada.

Resposta

O domínio da função f(x, y) = 3 + 5xx^2 + y^2 - 4 é o conjunto de todos os pares (x, y) no plano xy tais que x^2 + y^2 neq 4 . Graficamente, isso corresponde a todo o plano menos a circunferência de raio 2 centrada na origem.

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