Considere a seguinte população de tamanho N=5: \mathcal{P}=\{51,61,71,80,95\}. Os seguintes estimadores estão sendo propostos para a média:
\hat{\mu}_{1}=\frac{2 X_{1}+X 2+2 X_{3}}{5} \quad \text { e } \quad \hat{\mu}_{2}=\sqrt{X_{(1)} \times X_{(n)}}
Considerando todas as 5^{3}=125 amostras possíveis de tamanho n=3, com reposição, as somas das estimativas obtidas foram de 8950 e 8799,24 para os estimadores \hat{\mu}_{1} e \hat{\mu}_{2}, respectivamente.
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas \hat{\mu}_{1} \hat{\mu}_{2}
Médias
Variâncias 83.1744 69.5124
Vieses
Erros quadráticos Médios

Passo 1

O enunciado nos dá uma população de tamanho N=5: \mathcal{P}=\{51,61,71,80,95\}
e dois estimadores para a média:
\hat{\mu}_{1}=\frac{2X_{1}+X_{2}+2X_{3}}{5}, \quad \hat{\mu}_{2}=\sqrt{X_{(1)}\times X_{(n)}}.
Pede-se:
a) calcular a média e a variância populacionais;
b) a partir da soma das estimativas em todas as 5^3=125 amostras 8950 e 8799,24, obter E[\hat\mu_i], o viés, e completar a tabela (já dada a variância amostral de cada estimador);
c) decidir qual estimador é melhor, justificando.

Passo 2

Calcular a média populacional
\mu = \frac{51 + 61 + 71 + 80 + 95}{5} = \frac{358}{5} = 71,6.

Passo 3

Calcular a variância populacional
\sigma^2 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i - \mu)^2 = \frac{424,36 + 112,36 + 0,36 + 70,56 + 547,56}{5} = \frac{1155,2}{5} = 231,04.

Passo 4

Obter o valor esperado e o viés de cada estimador
  • Para \hat\mu_{1}:
E[\hat\mu_{1}] = \frac{1}{125}\sum \hat\mu_{1} = \frac{8950}{125} = 71,6 =\mu,
logo o viés é
\text{Vies}(\hat\mu_{1})=E[\hat\mu_{1}]-\mu=0.
  • Para \hat\mu_{2}:
E[\hat\mu_{2}] = \frac{8799,24}{125} =70,39392,
logo
\text{Vies}(\hat\mu_{2}) =70,39392 - 71,6 = -1,20608.

Passo 5

Calcular o erro quadrático médio (EQM = variância + vié s^{2})
  • Para \hat\mu_{1}:
\mathrm{EQM}(\hat\mu_{1}) =83,1744 + 0^2 =83,1744.
  • Para \hat\mu_{2}:
\mathrm{EQM}(\hat\mu_{2}) =69,5124 + (-1,20608)^2 =69,5124 + 1,45463 =70,96703.

Passo 6

Comparar os estimadores pelo EQM: \mathrm{EQM}(\hat\mu_{1})=83,1744 é maior que \mathrm{EQM}(\hat\mu_{2})=70,96703.
Portanto, em termos de erro quadrático médio, \hat\mu_{2} é o melhor, apesar de ser viesado.

Resposta

(a)
  • Média populacional: \mu=71,6.
  • Variância populacional: \sigma^2=231,04.
(b)
Medidas \hat{\mu}_{1} \hat{\mu}_{2}
Médias 71,6 70,39392
Variâncias 83,1744 69,5124
Vieses 0 -1,20608
Erros quadráticos Médios 83,1744 70,96703
(c)
O melhor estimador, pelo critério de erro quadrático médio, é \hat{\mu}_{2}, pois tem EQM menor que \hat{\mu}_{1}.

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