Considere a seguinte população de tamanho
. Os seguintes estimadores estão sendo propostos para a média:
Considerando todas as
amostras possíveis de tamanho
, com reposição, as somas das estimativas obtidas foram de 8950 e 8799,24 para os estimadores
e
, respectivamente.
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas
Médias
Variâncias
83.1744
69.5124
Vieses
Erros quadráticos Médios
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas |
|
|
Médias | ||
Variâncias | 83.1744 | 69.5124 |
Vieses | ||
Erros quadráticos Médios |
Passo 1
O enunciado nos dá uma população de tamanho
:
e dois estimadores para a média:
e dois estimadores para a média:
Pede-se:
a) calcular a média e a variância populacionais;
b) a partir da soma das estimativas em todas as amostras
e
, obter
, o viés, e completar a tabela (já dada a variância amostral de cada estimador);
c) decidir qual estimador é melhor, justificando.
a) calcular a média e a variância populacionais;
b) a partir da soma das estimativas em todas as
c) decidir qual estimador é melhor, justificando.
Passo 2
Calcular a média populacional
Passo 3
Calcular a variância populacional
Passo 4
Obter o valor esperado e o viés de cada estimador
- Para
:
logo o viés é
- Para
:
logo
Passo 5
Calcular o erro quadrático médio (EQM = variância + vié
)
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Comparar os estimadores pelo EQM:
é maior que
.
Portanto, em termos de erro quadrático médio, é o melhor, apesar de ser viesado.
Portanto, em termos de erro quadrático médio,
Resposta
(a)
- Média populacional:
. - Variância populacional:
.
(b)
Medidas |
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Médias |
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Variâncias |
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Vieses |
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Erros quadráticos Médios |
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(c)
O melhor estimador, pelo critério de erro quadrático médio, é , pois tem EQM menor que
.
O melhor estimador, pelo critério de erro quadrático médio, é