Os fabricantes do sabão em pó Deep Clean encomendaram um pesquisa de opinião para medir a popularidade do produto. As três principais marcas de sabão em pó, sendo uma delas o sabão Deep Clean, foram apresentados a n=600 pessoas as quais foram indagadas qual a marca preferida. Como resposta, 360 pessoas indicaram o sabão em pó Deep Clean como sendo o preferido.
a) Dê uma estimativa da proporção de pessoas que preferem o sabão em pó Deep Clean.
b) Calcule a probabilidade de que a proporção amostral não se distância do valor real mais do que 0,025 .
Dica: use a aproximação normal para a distribuição da proporção amostral.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=600 em que 360 pessoas indicaram preferência pelo sabão Deep Clean. O conteúdo é inferência para proporção populacional, usando a distribuição amostral da proporção e sua aproximação pela normal (Teorema Central do Limite). Vamos (i) calcular a estimativa pontual da proporção e (ii) estimar a probabilidade de a proporção amostral se manter a até 0,025 da proporção verdadeira.

Passo 2

A estimativa pontual da proporção populacional \,p, é a proporção amostral
\hat{p} = \frac{360}{600} = 0,60.

Passo 3

Para usar a aproximação normal, precisamos do erro-padrão de \hat{p}. Substituindo p por \hat{p}, temos
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,60 \times 0,40}{600}} = \sqrt{0,0004} = 0,02.

Passo 4

Queremos
P\bigl(|\hat{p}-p|\le 0,025\bigr) \approx P\!\Bigl(\bigl|Z\bigr|\le \frac{0,025}{0,02}\Bigr) = P\bigl(|Z|\le 1,25\bigr),
onde Z\sim N(0,1). Usando tabela da normal padrão, \Phi(1,25)\approx0{,}8944, logo
P\bigl(|Z|\le1,25\bigr) =2\,\Phi(1,25)-1 \approx 2\times0{,}8944-1 =0{,}7888.

Resposta

a) \hat{p}=0,60.
b) Aproximadamente 0,7888 (ou 78{,}9\%).

Exercícios relacionados