Considere a seguinte população de tamanho
. Os seguintes estimadores estão sendo propostos para a média:
Considerando todas as
amostras possíveis de tamanho
, com reposição, as somas das estimativas obtidas foram de 8950 e 8799,24 para os estimadores
e
, respectivamente.
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas
Médias
Variâncias
83.1744
69.5124
Vieses
Erros quadráticos Médios
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas |
|
|
Médias | ||
Variâncias | 83.1744 | 69.5124 |
Vieses | ||
Erros quadráticos Médios |
Passo 1
O enunciado dá uma população de tamanho
:
e propõe dois estimadores para a média verdadeira , amostrando com reposição de tamanho
.
Também informa que, sobre as amostras possíveis, as somas das estimativas foram
e
.
Pede em (a) a média e variância populacionais; em (b) o valor esperado, viés e erro quadrático médio (EQM) de cada estimador, e em (c) comparar qual é o melhor.
e propõe dois estimadores para a média verdadeira
Também informa que, sobre as
Pede em (a) a média e variância populacionais; em (b) o valor esperado, viés e erro quadrático médio (EQM) de cada estimador, e em (c) comparar qual é o melhor.
Passo 2
Calculamos a média e a variância da população usando as fórmulas
Aqui
e os desvios ao quadrado são
Somando e dividindo por 5,
Passo 3
O valor esperado de cada estimador é a soma das estimativas sobre 125 amostras dividida por 125:
O viés de
é
Logo
Passo 4
Dadas as variâncias amostrais já calculadas
e
,
o erro quadrático médio é
o erro quadrático médio é
Assim
Passo 5
Para escolher o melhor estimador, comparamos os EQMs:
é menor que
.
Portanto, é o melhor em termos de menor erro quadrático médio, mesmo sendo enviesado.
Portanto,
Resposta
Medidas |
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Médias |
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Variâncias |
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Vieses |
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Erros quadráticos Médios |
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O melhor estimador é
, pois tem o menor erro quadrático médio.