Considere a seguinte população de tamanho N=5: \mathcal{P}=\{51,61,71,80,95\}. Os seguintes estimadores estão sendo propostos para a média:
\hat{\mu}_{1}=\frac{2 X_{1}+X 2+2 X_{3}}{5} \quad \text { e } \quad \hat{\mu}_{2}=\sqrt{X_{(1)} \times X_{(n)}}
Considerando todas as 5^{3}=125 amostras possíveis de tamanho n=3, com reposição, as somas das estimativas obtidas foram de 8950 e 8799,24 para os estimadores \hat{\mu}_{1} e \hat{\mu}_{2}, respectivamente.
a) Determine a média e a variância populacionais.
b) Com as somas das estimativas dadas acima, determine o valor esperado (ou seja, a média) dos 2 estimadores, verifique se são viesados e complete a tabela abaixo.
c) Qual é o melhor estimador? Justifique.
Medidas \hat{\mu}_{1} \hat{\mu}_{2}
Médias
Variâncias 83.1744 69.5124
Vieses
Erros quadráticos Médios

Passo 1

O enunciado dá uma população de tamanho N=5: \mathcal{P}=\{51,61,71,80,95\}
e propõe dois estimadores para a média verdadeira \mu, amostrando com reposição de tamanho n=3.
Também informa que, sobre as 5^3=125 amostras possíveis, as somas das estimativas foram \sum\hat\mu_1=8950 e \sum\hat\mu_2=8799,24.
Pede em (a) a média e variância populacionais; em (b) o valor esperado, viés e erro quadrático médio (EQM) de cada estimador, e em (c) comparar qual é o melhor.

Passo 2

Calculamos a média e a variância da população usando as fórmulas
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i,\qquad \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2.
Aqui
\mu=\frac{51+61+71+80+95}{5}=\frac{358}{5}=71,6,
e os desvios ao quadrado são
(51-71,6)^2=424,36,\; (61-71,6)^2=112,36,\; (71-71,6)^2=0,36,\; (80-71,6)^2=70,56,\; (95-71,6)^2=547,56.
Somando e dividindo por 5,
\sigma^2=\frac{424,36+112,36+0,36+70,56+547,56}{5}=231,04.

Passo 3

O valor esperado de cada estimador é a soma das estimativas sobre 125 amostras dividida por 125:
E[\hat\mu_1]=\frac{8950}{125}=71,6,\qquad E[\hat\mu_2]=\frac{8799,24}{125}=70,39392.
O viés de \hat\mu_i é
\text{Bias}(\hat\mu_i)=E[\hat\mu_i]-\mu.
Logo
\text{Bias}(\hat\mu_1)=71,6-71,6=0,\qquad \text{Bias}(\hat\mu_2)=70,39392-71,6=-1,20608.

Passo 4

Dadas as variâncias amostrais já calculadas \mathrm{Var}(\hat\mu_1)=83,1744 e \mathrm{Var}(\hat\mu_2)=69,5124,
o erro quadrático médio é
\mathrm{MSE}(\hat\mu_i)=\mathrm{Var}(\hat\mu_i)+\bigl[\mathrm{Bias}(\hat\mu_i)\bigr]^2.
Assim
\mathrm{MSE}(\hat\mu_1)=83,1744+0^2=83,1744,
\mathrm{MSE}(\hat\mu_2)=69,5124+(-1,20608)^2\approx69,5124+1,455=70,9674.

Passo 5

Para escolher o melhor estimador, comparamos os EQMs: \mathrm{MSE}(\hat\mu_2)\approx70,9674 é menor que \mathrm{MSE}(\hat\mu_1)=83,1744.
Portanto, \hat\mu_2 é o melhor em termos de menor erro quadrático médio, mesmo sendo enviesado.

Resposta

Medidas \hat\mu_1 \hat\mu_2
Médias 71,6 70,39392
Variâncias 83,1744 69,5124
Vieses 0 -1,20608
Erros quadráticos Médios 83,1744 70,9674
O melhor estimador é \hat\mu_2, pois tem o menor erro quadrático médio.

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