Seja a variável aleatória contínua X, Uniforme, denotar a corrente medida em um fio de cobre fino em miliamperes. Suponha que a faixa de X seja [0,30 \mathrm{~mA}].
a) Qual a probabilidade de X>15 \mathrm{~mA}.
b) Qual o valor do Desvio-Padrão de X

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo [0,30] (em mA). Precisamos calcular:
  1. A probabilidade \Pr(X>15).
  2. O desvio-padrão de X.
    Para isso, vamos usar a densidade da distribuição uniforme e a fórmula da variância (e depois o desvio-padrão) dessa distribuição.

Passo 2

A função densidade de probabilidade de X\sim U(0,30) é
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{30},&0\le x\le30,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Para calcular \Pr(X>15) usamos
\Pr(X>15)=\int_{15}^{30}f(x)\,dx =\int_{15}^{30}\frac{1}{30}\,dx =\frac{30-15}{30} =\frac{1}{2}.

Passo 4

A variância de uma uniforme em [a,b] é dada por
\sigma^2 = \frac{(b-a)^2}{12}.
Aqui a=0 e b=30, logo
\sigma^2 = \frac{(30-0)^2}{12}=\frac{900}{12}=75.

Passo 5

O desvio-padrão é a raiz da variância:
\sigma = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\,\mathrm{mA}\approx8,66\,\mathrm{mA}.

Resposta

a) \Pr(X>15)=\tfrac{1}{2}.
b) \displaystyle\sigma=5\sqrt{3}\,\mathrm{mA}\approx8,66\,\mathrm{mA}.

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