Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{3 y+1} x y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{3y+1} x\,y^{2}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é integração iterada em que primeiro vamos integrar em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
\int_{y}^{3y+1} x\,y^{2}\,dx = y^{2}\int_{y}^{3y+1} x\,dx = y^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=y}^{x=3y+1}.

Passo 3

Substituindo os limites na primitiva:
y^{2}\left(\frac{(3y+1)^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) = \frac{y^{2}}{2}\bigl((3y+1)^{2}-y^{2}\bigr) = \frac{y^{2}}{2}\bigl(9y^{2}+6y+1 - y^{2}\bigr) = 4y^{4}+3y^{3}+\tfrac12y^{2}.

Passo 4

Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(4y^{4}+3y^{3}+\tfrac12y^{2}\bigr)\,dy = 4\int_{0}^{1}y^{4}dy +3\int_{0}^{1}y^{3}dy +\tfrac12\int_{0}^{1}y^{2}dy.

Passo 5

Calculando cada termo:
4\int_{0}^{1}y^{4}dy = 4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5},\quad 3\int_{0}^{1}y^{3}dy = 3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\quad \tfrac12\int_{0}^{1}y^{2}dy = \tfrac12\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Somando:
\frac{4}{5}+\frac{3}{4}+\frac{1}{6} =\frac{48+45+10}{60} =\frac{103}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{103}{60}

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