Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3 x+1} x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\!\!\int_{x}^{3x+1} x\,y \,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração iterada (Fubini): primeiro integramos em y tratando x como constante e depois integramos em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{x}^{3x+1} x\,y \,dy = x \int_{x}^{3x+1} y \,dy = x \left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{y=3x+1} = x \,\frac{(3x+1)^2 - x^2}{2}.

Passo 3

Simplificar o polinômio:
(3x+1)^2 - x^2 = 9x^2 + 6x +1 - x^2 = 8x^2 + 6x +1,
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x \,\frac{(3x+1)^2 - x^2}{2} = \frac{1}{2}\,x\,(8x^2+6x+1) = \frac{1}{2}\,(8x^3 + 6x^2 + x).

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}(8x^3+6x^2+x)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[ \int_{0}^{1}8x^3\,dx + \int_{0}^{1}6x^2\,dx + \int_{0}^{1}x\,dx \Bigr].
Cada termo dá
\int_{0}^{1}8x^3\,dx = 8\cdot\frac{1}{4}=2,\quad \int_{0}^{1}6x^2\,dx = 6\cdot\frac{1}{3}=2,\quad \int_{0}^{1}x\,dx = \frac{1}{2},
portanto a soma é 2+2+\tfrac12 = \tfrac{9}{2} e multiplicando por \tfrac12 obtemos \tfrac{9}{4}.

Resposta

\frac{9}{4}.

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